Aufgabe: ist diese Abbildung isomorph?
g : P2(R) → R gegeben durch g(p) := p0 − p1 wobei p(x) := p0 + p1x + p2x2 ∈ P2(R)
Problem/Ansatz:
homogen ist sie nicht oder, ein Kumpel von mir sagt sie sei homogen ich hab es ausgerechnet und das stimmt nicht aber das ergibt für mich keinen Sinn
a= lambda
p(a*x)= a*p(x)
p0+ a*(p1x+p2x^2)=a*p0+ a*(p1x+p2x^2)
p0=a*p0
Das ist nicht homogen oder ???
Es geht doch um die Abbildung g. Damit die homogen ist,
muss gelten g(a*p) = a*g(p) .
Wenn nun p∈P2(ℝ) gegeben ist als das Polynom
mit p(x)= p0 + p1x + p2x2 . Dann ist ap das Polynom mit
ap(x)= a*p0 + a*p1x + a*p2x2 .
Und es ist g(ap) = ap0 - ap1 = a( p0-p1) = a*g(p)
g ist also homogen.
Wieso rechnen sie mit g und nicjt p
g : P2(R) → R gegeben durch....
Es geht also um die Abbildung g.
Die Polynome sind die Objekte, auf die die
Abbildung angewandt wird.
Asooooo das ergibt total Sinn. Vielen lieben Dank. Mein Kopf explodiert gleich, sitze seit 2 Stunden an diesem Fehler
Isomorph is ja Trz nicjt, aber wie zeig ich das
g ist nicht injektiv, weil z.B.
g( 1+x-x^2) = 0 und g( 1+x-2x^2) = 0
Wegen \(\dim(P_2(\mathbb{R}))=3\neq 1=\dim(\mathbb{R})\) könnendie beiden Räume nicht isomorph sein.
Wie haben sie das so schnell gelöst ??
Zwei endlich-dimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph,wenn sie die gleiche Dimension haben, also wennihre Basen gleichviele Elemente besitzen.
\(P_2(\mathbb{R})\) hat die Basis \(\{1,\;x,\;x^2\}\).
\(\mathbb{R}\) hat die Basis \(\{1\}\)
Ein anderes Problem?
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