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Aufgabe: Wie integriere ich ∫ ex e^{x} *(x²+2x) dx?

Problem/Ansatz:

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Mit partieller Integration.

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Aloha :)

Das Integral kannst du schnell lösen, indem du die Produktregel für das Ableiten "rückwärts" verwendest:ex(x2+2x)dx=(ex=ux2=v+ex=u2x=v)dx=ex=ux2=v+C\int e^x\cdot(x^2+2x)\,dx=\int (\underbrace{e^x}_{=u'}\cdot\underbrace{x^2}_{=v}+\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v'})\,dx=\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{x^2}_{=v}+C

Oder du wendest 2-mal partielle Integration an:ex=u(x2+2x)=vdx=ex=u(x2+2x)=vex=u(2x+2)=vdx\int\underbrace{e^x}_{=u'}\cdot\underbrace{(x^2+2x)}_{=v}\,dx=\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{(x^2+2x)}_{=v}-\int\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{(2x+2)}_{=v'}\,dx

Das erhaltene Integral rechts musst du nochmal partiell integrieren:ex=f(2x+2)=gdx=ex=f(2x+2)=gex=f2=gdx\int\underbrace{e^x}_{=f'}\cdot\underbrace{(2x+2)}_{=g}\,dx=\underbrace{e^x}_{=f}\cdot\underbrace{(2x+2)}_{=g}-\int\underbrace{e^x}_{=f}\cdot\underbrace{2}_{=g'}\,dx    =ex(2x+2)(2ex+C)=2xexC\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;=e^x\cdot(2x+2)-(2e^x+C)=2x\cdot e^x-CJetzt alles zusammenbauen:ex(x2+2x)dx=ex(x2+2x)(2xexC)=exx2+C\int e^x\cdot(x^2+2x)\,dx=e^x\cdot(x^2+2x)-(2x\cdot e^x-C)=e^x\cdot x^2+C

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