Lösen Sie das Gleichungssystem: QR-Zerlegung

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichungssystem

x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 1

x₁ +2x₃ = 11

x₂ + x₃ = -1

mithilfe einer QR-Zerlegung.

Answer 1

Hallo,

Lösen mit QR-Zerlegung ist hier mit Kanonen auf Spazen geschossen ;-) Aber es soll wohl geübt werden. Ich wähle das Verfahren Given-Rotation. Im ersten Schritt soll die $1$ an der Position $(2,1)$ zu 0 werden:$$A = \begin{pmatrix}1& 2& 2\\ {\color{red}1}& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{pmatrix}\\ G_{1,2}:\space \rho = \operatorname{sgn}(a_{11}) \sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2} = \sqrt 2\\ \implies c = \frac12\sqrt 2,\quad s = \frac12\sqrt2\\ G_{1,2} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt 2 & \frac12\sqrt 2& 0 \\ -\frac12\sqrt 2& \frac12\sqrt 2& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\ G_{1,2} A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 2 & 0 \\ 0& 1& 1\end{pmatrix}$$Bei der neu entstandenen Matrix muss jetzt nur noch das Element an der Position $(3,2)$ ge-nullt werden:$$G_{1,2} A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 2 & 0 \\ 0& {\color{red}1}& 1\end{pmatrix}\\G_{2,3}:\space \rho = \operatorname{sgn}(a_{22})\sqrt{a_{22}^2+a_{32}^2}=-\sqrt 3 \\ \implies c = \frac13\sqrt 6, \quad s=-\frac13 \sqrt 3 \\ G_{2,3}=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & \frac13\sqrt 6 & -\frac13 \sqrt 3\\ 0& \frac13 \sqrt 3& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix} \\ G_{2,3}G_{1,2}A = \begin{pmatrix} \sqrt 2 & \sqrt 2 & 2\sqrt 2 \\ 0 & -\sqrt 3 & -\frac13 \sqrt 3\\ 0& 0& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix}=R$$Dann noch die Matrix $Q$ berechnen:$$Q^T = G_{2,3}G_{1,2} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt 2 & \frac12\sqrt 2 & 0\\ -\frac13\sqrt 3 & \frac13\sqrt 3 & -\frac13 \sqrt 3 \\ -\frac16 \sqrt 6& \frac16 \sqrt 6& \frac13\sqrt 6\end{pmatrix}$$Jetzt hat man ein Gleichungssystem der Form $$Q R \cdot x = b$$ und da $Q^T=Q^{-1}$ multipliziert man dies nun von links mit $Q^T$$$\underbrace{Q^TQ}_{=\underline 1}R \cdot x = Q^T\cdot b$$Die Lösung wäre $(3,\,-5,\,4)$. Kommst Du zurecht, sonst melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Dankeschön Werner-Salomom für deine ausführliche Antwort.

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... bitte schön. Ich habe nochmal was geändert. $Q$ und $Q^T$ war vertauscht.

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Ich weiß es nicht wo mein Denkfehler liegt. Ich bekomme als Lösung (6, 9,2)!!!

Wie kommst du auf(3, -5,4)?

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Ich habe es hinbekommen. Danke