Für welche reellen Zahlen x≠0 konvergiert die Reihe ∑k=1 [x−(1/x)]k/k? Wie lautet der Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Für welche reellen Zahlen x≠0 konvergiert die Reihe ∑k=1 [x−(1/x)]^k/k? Wie lautet der Grenzwert?

Problem/Ansatz:

Hallo,

Ich bin am durchrechnen einer älteren Klausur meines Professors und bin bei der Aufgabe ein bisschen verwirrt.

Er subsituiert  ∑k=1[x−(1/x)]^k/k mit x-(1/x) = y zu ∑k=1 y^k/k und danach wird es für mich unverständlich. Kann mir jemand mit dem Ansatz weiterhelfen?

Answer 1

Hallo

genau das hätte ich dir auch vorgeschlagen

kannst du denn rausfinden wann \( \sum\limits_{k=0}^{n}{y^k/k} \) konvergiert? klar dass du für y=1 eine harmonische Reihe hast, für y=-1 eine Leibnizreihe.

 , |y|<1 konvergiert, für |y|>1 hast du keine Nullfolge mehr

jetzt weisst du also |x-1/x|<1 und musst nur noch die Ungleichung für x-1/x>1 und <1 lösen um die richtigen x zu finden (natürlich ist es für x=0 nicht definiert)

lul

Comments

Vielen Dank dir, so ergibt die Sache doch Sinn!

Es war wohl doch schon ein längerer Tag...

Einen schönen Abend noch!