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Untersuchen Sie (unter Benutzung des Quotientenkriteriums), für welche reellen Zahlen x die Reihe
$$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n }\cdot x ^ { n }$$

konvergiert.

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Um nach dem Quotientenkriterium zu überprüfen, ob eine Reihe der Form

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } $$

konvergiert, muss gezeigt werden, dass der Quotient

$$ \left| \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \right| $$

für fast alle n kleiner ist als eine feste Zahl q<1, also dass dieser Quotient z.B: gegen eine Zahl q<1 konvergiert.
Ich berechne den Quotienten für dieses Beispiel:

$$ \begin{array} { l } { a _ { n + 1 } = \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } } \\ { a _ { n } = \frac { x ^ { n } } { n } } \\ { \Rightarrow \left| \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } \right| = \left| \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } \frac { n } { x ^ { n } } \right| = \left| \frac { n } { n + 1 } \cdot x \right| = \frac { n } { n + 1 } | x | } \end{array} $$

n/(n+1) geht für große n gegen 1, also konvergiert die Reihe, wenn |x|<1, also auf dem Intervall ]-1, 1[

Die Frage ist nun noch, was auf den Rändern passiert, also für x=1 und x=-1:

x=1:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } $$

Das ist die harmonische Reihe, die bekanntermaßen divergiert.

x = -1:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } $$

Die Summandenfolge ist eine alternierende Nullfolge, also konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium.

Die Reihe konvergiert also genau dann, wenn x∈[-1, 1[ gilt.

Beantwortet von 10 k
Danke für die Antwort, muss man -1 und 1 betrachten? Da q<1 ist, müsste man doch 1 gar nicht betrachten?
Das Quotientenkriterium arbeitet nicht, wenn der Quotient zwar immer kleiner als 1 ist, aber gegen 1 konvergiert. Das ist der Fall, walls x = ±1 gewählt wird:
Der Quotient ist dann n/(n+1), was genau diese Bedingungen erfüllt:

1.) n/(n+1) < 1

n < n+1

0 < 1

 

2.) lim n/(n+1) = lim 1/(1+1/n) = 1

 

Also müssen diese Fälle einzeln überprüft werden.

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