Aufgabe:
(i) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion \( P_{W}(\vec{x}) \) mit der Formel
\( P_{W}=A\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} \)
für die Projektionsmatrix aus der Vorlesung (wie bilden Sie dabei die Matrix \( A \) ?).
(ii) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis \( \left(\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right) \) der Ebene und rechnen Sie nach, dass die Matrix
\( P_{W}=\vec{w}_{1} \vec{w}_{1}^{T}+\vec{w}_{2} \vec{w}_{2}^{T} \)
ebenfalls die Projektionsmatrix liefert.
(iii) Rechnen Sie nach, dass die Formel aus Satz 20.3 mit der Orthonormalbasis \( \left(\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}\right) \) das gleiche Ergebnis für die Projektion \( P_{W}(\vec{x}) \) liefert.
Aufgabe 4 .
(2 Punkte) Rechnen Sie mit der Definition der orthogonalen Projektion \( { }^{2} \) nach, dass die orthogonale Projektion auf den Kern einer Matrix \( A \in \mathbb{R}^{m, n} \) (bezüglich Standard-Skalarprodukt) durch Multiplikation mit der Matrix
\( I_{n}-A^{T}\left(A A^{T}\right)^{-1} A \)
beschrieben wird.
Problem/Ansatz:
\( A^{\top} A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15 & 6 \\ 6 & 18\end{array}\right) \)
\( \left(A^{\top} A\right)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{dec}\left(\begin{array}{cc}15 & 6 \\ 6 & 11\end{array}\right)}\left(\begin{array}{cc}18 & -6 \\ -6 & 15\end{array}\right)=\frac{1}{234}\left(\begin{array}{cc}15 & -6 \\ -6 & 18\end{array}\right) \)
\( P=A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 4 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \cdot \frac{1}{234}\left(\begin{array}{cc}15 & -6 \\ -6 & 18\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 1\end{array}\right) \)
Ich hab nochmal eine Frage heute, die Klausurenphase ist schrecklich… aber ich komme hier nicht weiter und die Aufgaben bauen aufeinander auf.
