Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

Question

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}-1\right)^{n} \)
b) Prüfen Sie die Konvergenz der Reihe für \( z=0 \) und \( z=4 ! \)
c) Welche rationale Funktion verbirgt sich hinter dieser Potenzreihe? Benutzen Sie dafür die geometrische Reihe!

Irgenwie komme ich nicht mit der Potenzreihe klar, wie sollte man das angehen?

Answer 1

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}-1\right)^{n} \)

\( = \sum \limits_{n=0}^{\infty} ( \frac{1}{2} \cdot (z-2))^{n} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} ( \frac{1}{2} )^n \cdot (z-2)^{n} \)

Vielleicht sieht das mehr nach Potenzreihe aus.

Konv.rad=2

b) konvergiert da bei beiden nicht

c) geometrische Reihe mit q = \( \frac{z}{2}-1\), also nach der

Grenzwertformel gibt das \( \frac{1}{1-q} =\frac{1}{1-(\frac{z}{2}-1)} =  \frac{2}{4-z} \)

Comments

Bei b habe ich das jetzt so gemacht:

für z = 0 = $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n * (-2)^n = (-1)^n$$ = div.

z = 4! = $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n * (22)^n = (11)^n$$ = div.

ist das so richtig?

---

Hallo,

Du bist ein Opfer der Syntax geworden. Das Ausrufe-Zeichen ist ein Satzzeichen. Du sollst die Konvergenz bei z=4 überprüfen. Du hättest das wissen können, weil ja z=0 und z=4 die Randpunkte des Konvergenzbereichs - durch Konvergenzradius gegeben - sind.

Gruß Mathhilf

---

Ups, stimmt :) Ich danke dir!