Wie kann ich diese Integrale umformen?

Question

Aufgabe:

Integrieren sie durch Umformung des Integranden:

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich bei folgenden Integralen vor ?

1.)  $\int$ (1+x)²/(x(1+x²)

2.) $\int$ $( \sqrt{x}$-1)/x

3.) $\int$ (x^4)/(1+x²)

Answer 1

Aloha :)

$$I_1=\int\frac{(1+x)^2}{x(1+x^2)}\,dx=\int\frac{1+2x+x^2}{x(1+x^2)}\,dx=\int\left(\frac{2x}{x(1+x^2)}+\frac{1+x^2}{x(1+x^2)}\right)dx$$$$\phantom{I_1}=\int\left(\frac{2}{1+x^2}+\frac{1}{x}\right)dx=2\arctan(x)+\ln|x|+C$$

$$I_2=\int\frac{\sqrt x-1}{x}\,dx=\int\left(\frac{\sqrt x}{x}-\frac1x\right)dx=\int x^{-\frac12}\,dx-\int\frac1x\,dx=\frac{x^{\frac12}}{\frac12}-\ln|x|+C$$$$\phantom{I_2}=2\sqrt x-\ln|x|+C$$

$$I_3=\int\frac{x^4}{1+x^2}\,dx=-\int\frac{-x^4}{1+x^2}\,dx=-\int\frac{1-x^4-1}{1+x^2}\,dx=-\int\left(\frac{1-x^4}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx$$$$\phantom{I_3}=-\int\left(\frac{\cancel{(1+x^2)}(1-x^2)}{\cancel{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=-\int(1-x^2)dx+\int\frac{1}{1+x^2}dx$$$$\phantom{I_3}=\frac{x^3}{3}-x+\arctan(x)+C$$

Comments

die 1. Aufgabe lautet aber anders

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Danke für die Antwort.

Bei 1. habe ich doch aber im Zähler (1+x)², nicht 1+x² ?

Bei 3. verstehe ich noch nicht ganz. Ich ergänze jetzt quasi solange bis ich kürzen kann bzw. beim zweiten Summanden das Grundintegral auftaucht ?

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@Löwe:

Danke für den Hinweis, habe es korrigiert ;)

@ Zeebuh:

Bei (1) habe ich mich verlesen, Löwe hat mich darauf hingewiesen, ich hab's korrigiert.

Meine Idee bei der (3) war $(1-x^4)=(1+x^2)(1-x^2)$ zu verwenden, um dann kürzen zu können. Also musste ich den Zähler erst präparieren. Im ersten Schritt habe ich $x^4$ negativ gemacht und dafür ein Minus vor das Integral geschrieben. Dann habe ich im Zähler eine $1$ addiert und wieder abgezogen, um den Wert des Zählers nicht zu verändern. Schließlich habe ich den Bruch dann auseinander gezogen, um $(1-x^4)$ im Zähler alleine zu bekommen und kürzen zu können.

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Alles klar, hat mir sehr geholfen. vielen Dank!

Answer 2

1)  mit (1+x²) kürzen , da bleibt nur 1/x

2)  √x / x    -1 /x   =    1/√x    -  1/x

3)   x⁴ / (1+x² )   =   1/(1+x²)   +   (x⁴ - 1) / (1+x²)

 =  1/(1+x²)  +  x²+1

gibt arctan(x) + x³/3  - x

Comments

die 1.Aufgabe lautet anders.