Beträge und Ungleichungen: I x I > I x - 1 I ⇒ x > 1/2 richtig? I x + y I ≤ I xI + I y I Dreiecksungleichung.

Question

Hallöchen!

Beträge machen und Ungleichungen verwirren mich in manchen Fällen leider etwas..

Folgende Aufgaben:

Aufgabe 1)

Ist die folgende Aussage über reelle Zahlen x richtig oder falsch?

I x I > I x - 1 I ⇒ x > 1/2

Mein Ansatz ist folgender:

Fall 1)

x > 0

x > x -1
0 > -1

Fall 2)

x < 0

-x > -x + 1

0 > 1

Fall 3)

I x I > 0 ∧ I x -1 I < 0

x > -x +1

2x > 1

x > 0,5

Fall 4 )

I x I < 0 ∧ I x - 1 I > 0

-x > x-1

-2x > -1

x  < 0,5

Mich verwirren aber die Ergebnisse.. Ist das soweit überhaupt richtig und wenn ja, was kann ich aus den Ergebnissen schließen, bzw. was wäre meine richtige Lösungsmenge?

Aufgabe 2 )

Zeigen Sie, dass folgende Ungleichung gilt für beliebige reelle Zahlen x und y:

I x + y I ≤ I xI + I y I

Ich befürchte, dass ich es mir hier etwas zu einfach gemacht habe....

Fall 1)

x,y > 0

x + y ≤ x +y

Fall 2)

x,y < 0

-x -y ≤ -x -y

Fall 3 )

x > 0 ,y < 0

x - y  ≤ x-y

Fall 4 )

x < 0, y > 0

-x + y ≤  -x +y

Wäre toll, wenn mir jemand helfen würde :)

Answer 1

Die kritischen Stellen bei Betragsungleichungen sind immer die Nullstellen der Beträge. Diese musst du zunächst bestimmen. Wenn du die hast, dann teile die x-Achse an diesen Stellen auf und untersuche die Ungleichung in den entstehenden Intervallen. Das sind die Fälle, die du unterscheiden musst.

Für dein erstes Beispiel:

| x | > | x - 1 |

kritische Stellen:

x = 0 und x = 1

Es sind also die folgenden drei Fälle zu unterscheiden:

1) x < 0

2) 0 ≤ x < 1

3) 1 ≤ x

zu 1)

x < 0 dann:

| x | > | x - 1 | <=> - x > - x + 1 <=> 0 > 1 (immer falsche Aussage, also ist die Ungleichung für x < 0 immer falsch)

zu 2)

0 ≤ x < 1, dann:

| x | > | x - 1 | <=> x > - x + 1 <=> 2 x > 1 => x > 1 / 2

zu 3 )

1 ≤ x, dann:

| x | > | x - 1 | <=> x >  x - 1 <=> x > - 1 (immer wahre Aussage, also ist die Ungleichung für 1 ≤ x immer wahr.

Insgesamt gilt also tatsächlich:

| x | > | x - 1 | => x > 1 / 2

Hier der Graph dieser Ungleichung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=|x|%3E|x-1|

 

Aufgabe 2)

Das ist die Dreiecksungleichung. Bevor ich hier das Rad neu erfinde, verweise ich dich für den (einfachen) Beweis auf den entsprechenden Wikipedia-Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung

(Abschnitt: "Dreiecksungleichung für reelle Zahlen")

Comments

Also ist meine bisherige Annahme, dass man bei Beträgen die verschiedenen Fälle ob x < 0 oder x > 0 betrachten muss, falsch?

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Du brauchst hier bei 1) gar keine Fallunterscheidung. Vgl. andere Antwort. Geht allerdings nicht immer so einfach.

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Unterscheiden musst du diejenigen Fälle, in denen der Term, der in den Betragsstrichen steht, das Vorzeichen wechselt,denn dies hat Auswirkungen auf die Auflösung der Betragsstriche.

Es gilt ja:

$$|x|=\begin{cases} x,\quad falls\quad x\quad \ge 0 \\ -x\quad sonst\quad  \end{cases}$$

Steht aber statt x ein anderer Term in den Betragsstrichen, dann gilt:

$$|Term(x)|=\begin{cases} Term(x),\quad falls\quad x\quad \ge 0 \\ -Term(x)\quad sonst\quad  \end{cases}$$

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Jetzt hab ich es verstanden!

Großartig, vielen Dank :)

Answer 2

Aufgabe 1 lässt sich auch ohne Fallunterscheidung lösen.
| x | > | x - 1 | ⇒ x² > (x - 1)² = x² - 2x +1 ⇒ 2x > 1.