Die Zahl 32n+4 - 2n-1 ist für alle n ∈ ℕ durch 7 teilbar.

Question

Aufgabe: Die Zahl 3²ⁿ⁺⁴ - 2^{n-^1} ist für alle n ∈ ℕ durch 7 teilbar.

Lösen Sie mit vollständiger Induktion.

Induktionsanfang: Für n = 0 gilt 3^2*0+4 - 2^0-1 = 3⁴ - 2^-1 = 3 * 3 * 3 *3 - 2^-1  = 81 - 0,5

Hier stimmt doch was nicht, oder? Wie mache ich den Induktionsanfang richtig?

Comments

(hier stand was falsches ...)

Answer 1

n = 0 ist je nach Definition eine natürliche Zahl. Passt es für n = 0 nicht dann nimm einfach n = 1 als kleinste natürliche Zahl.

3^(2·n + 4) - 2^(n - 1) ist durch 7 teilbar

IA

3^(2·1 + 4) - 2^(1 - 1) ist durch 7 teilbar
3^(6) - 2^(0) ist durch 7 teilbar
729 - 1 ist durch 7 teilbar
728 ist durch 7 teilbar → das ist 104

Jetzt passt der Induktionsanfang.

Comments

Danke! Beim Induktionsschluss bin ich hier (ist mittendrin, verstehe da den Schritt nicht):

Von:

⇔ 7 * 9k + 9 * 2^n-1 -2ⁿ

⇔ 7 * 9k + (9 - 2)  * 2^n-1

Wie komme ich denn da auf die zweite Zeile?

Wenn ich die erste Zeile ausschreibe, habe ich 9 * (2ⁿ * 2^-1 ) * 2^n-1 oder nicht?

Ich bin verwirrt, aber mit welcher regel kann ich denn von der 9 einfach 2 abziehen?

Außerdem gibt mir der Taschenrechner 2^-1 = 0.5 aus. Das ist doch quatsch oder? Ich bin verwirrt...

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Der letzte Summand \(2^n\) wurde zerlegt in \(2·2^{n-1}\).

Das erlaubt es, diesen Term mit \(7·2^{n-1}\) zu \(9·2^{n-1}\) zusammenzufassen.

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Ist denn 2 * 2^n-1 = 2ⁿ ??

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Ist 2*2^1 nicht 2^2?

Ist 2*2^2 nicht 2^3?

Ist 2*2^3 nicht 2^4?

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Danke, also wenn 2 *, dann Exponent immer +1

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Den Faktor 2 kann man als 2^1 schreiben. Jetzt Potenzgesetz für Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis ...

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Also Exponenten addieren. Jetzt leuchtet es ein, Danke!