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x^(4)+3x^(2)-4x=0

Zu

(x^(2)-1)(x^(2)+4)=0

Also produktdarstellung machen.


Ich Habe nun gemacht,

x(x^(3)+3x-4)=0

Nst eraten x=1

Dann polynomdivision

(x^(3)+3x-4):(x-1)= x^(2)-x+2

Rest -2

Könnt ihr mir bitte weiter helfen?

Avatar von 2,1 k

Also es geht um

Homogene Gleichung.


y^(4)+3y^(2)-4y=0

2 Antworten

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Hallo Immai,

bei der Polynomdivision hast du dich vertan. Das Ergebnis findest du hier.

Dann wirst du feststellen, dass die Gleichung \(x^2+x+4=0\) keine Lösung hat.

Somit gibt es nur die Nullstellen bei x = 0 und x = 1.

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Stimmt :)

Aber es ging mir um die Homogen geschichte

Wie man auf

(X^(2)-1)(X^(2)+4) kommt

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Aloha :)

Klammere zunächst \(x\) aus:$$x\cdot(x^3+3x-4)=0$$

Alle ganzzahligen Nullstellen der verbliebenen Klammer müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \((-4)\). Deren Teiler sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\). Einsetzen liefert leider nur für \(x=1\) eine weitere Nullstelle. Also muss der Linearfaktor \((x-1)\) enthalten sein. Um uns die Polynomdivision zu ersparen, scheiben wir den Term etwas um:$$\phantom{=}x^3+3x-4=x^3\,\underbrace{-x^2+x^2}_{=0}\,\underbrace{-x+4x}_{=3x}-4=(x^3-x^2)+(x^2-x)+(4x-4)$$$$=x^2(x-1)+x(x-1)+4(x-1)=(x^2+x+4)\cdot(x-1)$$

Damit haben wir die ursprüngliche Gleichung weiter faktorisiert:$$x\cdot(x-1)\cdot(x^2+x+4)=0$$Damit sind wir aber auch schon fertig, denn die verbliebene quadratische Gleichung hat keine weitere reelle Nullstelle:$$x^2+x+4=x^2+x+\frac14+\frac{15}{4}=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0$$

Avatar von 148 k 🚀

Hast du das mit dem Homogene Geschichte gelesen^^

Sry habe das zu spät mit rein geschrieben

Es sollte ja

(X^(2)-1)(X+4)=0 sein

Wie man darauf kommt^^

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