Aufgabe:
Welche Reihenfolge muss man bei Mehrfach-Integralen einhalten?
Folgendes Integral soll ausgerechnet werden
Sei \( K:=\left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq 0\right\} \).
Berechnen Sie
\( \int \limits_{K}\left(y^{2}-x^{2}\right) d(x, y, z) \)
Problem/Ansatz:
Man verwendet Kugelkoordinaten dafür, aber mir ist die Reihenfolge nicht ganz ersichtlich
\( \Phi:\left\{\begin{array}{l}\mathbb{R}^{+} \times[0,2 \pi] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\ \left(\begin{array}{l}r \\ \phi \\ \theta\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}r \cos \phi \cos \theta \\ r \sin \phi \cos \theta \\ r \sin \theta\end{array}\right)\end{array}\right. \)
\( \int \limits_{K}\left(y^{2}-x^{2}\right) d(x, y, z)= \)
\( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int \limits_{0}^{2 \pi} r^{2}\left(\sin ^{2} \varphi-\cos ^{2} \varphi\right) \cos ^{2} \theta \cdot r^{2} \cos \theta d \varphi d \theta d r \)
Kann mir jemand erklären, wie man auf die Reihenfolge kommt? Ich verstehe generell nicht, welche Reihenfolge man einhalten muss bei Mehrfach-Integralen. Könnte man theoretisch die Reihenfolge beliebig vertauschen?
