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\( S:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1, z \geq 0\right\} \)

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Randkurve \( \partial S \) an.

Wäre dies

\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c}r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ 1-\frac{r^{2} cos \varphi}{4}-\frac{r^{2} \sin \varphi}{4}\end{array}\right) \)

möglich?

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Aloha :)

An die Punkte \((x;y;z)\in\mathbb R^3\) in der Menge \(S\) werden zwei wesentliche Forderungen gestellt:$$z+\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\quad;\quad z\ge0$$

Ein Rand hat immer was mit einer Abgrenzung zu tun. Wenn du also den Rand einer Menge bestimmen sollst, ist es ratsam, an den Grenzen zu suchen.

Es fällt sofort auf, dass die Wahl des Parameters \(z\in[0|1]\) stark eingeschränkt ist. Wählen wir \(z=1\), muss \(x=y=0\) gelten. Die Menge \(S\) hat daher einen höchsten Punkt bei \((0|0|1)\). Wählen wir \(z=0\), lautet die Forderung der linken Gleichung:$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\quad\text{bzw.}\quad x^2+y^2=4$$Das ist der Rand eines Kreises mit Radius \(2\) in der \(xy\)-Ebene, denn \(z\) ist ja gleich \(0\).

Damit können wir den Rand \(\partial S\) der Fläche \(S\) wie folgt parametrisieren:$$\partial S\colon\;\vec r=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

von 118 k 🚀
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HM


was ist eine Randkurve?

blob.png

Text erkannt:

\( X=(2 \cos (t) \cdot 2 \sin (t) \cdot 0) \)

von 17 k

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