Grenzwert der Reihe (2^(k+1)+3^k)/(4^(k-1))

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k+1}+3^{k}}{4^{k-1}} \)

Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert und bestimme ihren Wert
Problem/Ansatz:

Ich komme hier nicht weiter, könnte mir jemand eine Lösung zeigen mit Erklärung?

Answer 1

Aloha :)

Die Reihe kannst du in 2 geometrische Reihen aufteilen:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^k}{4^{k-1}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k+2}+3^{k+1}}{4^{k}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k+2}}{4^{k}}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k+1}}{4^{k}}=2^2\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k}}{4^{k}}+3\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k}}{4^{k}}$$$$=2^2\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac12\right)^k+3\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac34\right)^k=4\left(\frac{1}{1-\frac12}-1\right)+3\left(\frac{1}{1-\frac34}-1\right)$$$$=4\cdot\left(\frac{1}{\frac12}-1\right)+3\cdot\left(\frac{1}{\frac14}-1\right)=4\cdot1+3\cdot3=13$$

Comments

Hallo,

ich wollte nochmal kurz fragen, ob man nicht auch das Quotientenkriterium verwenden könnte ?

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Mit dem Quotientenkriterium kannst du zeigen, dass die Reihe konvergiert, erhältst aber nicht ihren konkreten Grenzwert.

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Ah okay, vielen dank.

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Ich würde vor Anwendung des Quotientenkriteriums noch eine kleine Abschätzung vonrhemen:

$$\phantom{<}\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^{k}}{4^{k-1}}<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k-1}}<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{3^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k-1}}$$$$<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2\cdot 3^{k+1}}{4^{k-1}}=\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2\cdot 3^2\cdot 3^{k-1}}{4^{k-1}}=18\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{3^{k-1}}{4^{k-1}}=18\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k}}{4^{k}}$$Jetzt kannst du mit dem Quotientenkreiterim zeigen, dass die Reihe konvergiert:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}}{\frac{3^k}{4^k}}=\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}\cdot\frac{4^k}{3^k}=\frac34<1\quad\checkmark$$

Answer 2

Teilsummen bilden:

2^(k+1)/4^(k-1) = 2*2^k/2^(2k) *4 = 8/2^k -> ∑ = (8/2^2)/(1-1/2) = 2/(1/2) = 4

3^k/4^(k-1) = 4*(3/4)^k -> ∑ = 4*(3/4)^2/ (1-3/4) = 9/4*4/1 = 9

-> Gesamtsumme = 13