Aloha :)
Die Euler-Formel lautet:$$e^{\pm ix}=\cos(x)\pm i\,\sin(x)$$
Hier wendest du diese zuerst bei der \(e\)-Funktion im Exponenten an:
$$\phantom{=}\frac14e^{i\omega e^{i\pi/4}-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{i\omega \left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{i\omega \left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{\frac{i\omega}{\sqrt2}-\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{i\,3\pi}{4}}$$$$=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}+i\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot e^{i\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)}$$
Jetzt wendest du die Euler-Formel ein weiters Mal an:$$=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$$
Ergänzung nach Hinweis von lul:
Wegen den beiden Identitäten:$$\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos\left(x+\frac\pi4\right)\quad\text{und}\quad\sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin\left(x+\frac\pi4\right)$$kann man das Ergebnis noch umformen:$$=-\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\omega}{\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\omega}{\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$$Da hat sich in deiner Lösung ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.
