Geben Sie die Stammfunktion von f an

Question

Text erkannt:

4 Geben Sie eine Stammfunktion zur Funktion f an.
a) \( f(x)=e^{x}+2 x \)
b) \( f(x)=x^{2}-e^{x} \)
c) \( f(x)=0,5 e^{x}-2 \)
d) \( f(x)=e^{x}+\frac{7}{x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie das geht...

Answer 1

Aloha :)

Dein Leerer ist aber echt gemein, wenn er euch Aufgaben aufgibt, die ihr vorher nicht im Unterricht besprochen habt...

Wenn du eine Potenz \(x^n\) ableitest, multiplizierst du mit dem Exponenten und verminderst danach den Exponenten um \(1\). Beim Integrieren musst du das Gegenteil tun. Zuerst den Exponenten um eins erhöhen und danach durch den neuen Exponenten divdieren:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\quad;\quad\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$

Das Integral der \(e^x\)-Funktion ist wieder die \(e^x\)-Funktion, weil umgekehrt die \(e^x\)-Funktion auch ihre eigene Ableitung ist.

Im Folgenden lasse ich die Integrationskonstante weg, weil du ja nur eine Stammfunktion angeben sollst:

$$\int\left(e^x+2x\right)\,dx=e^x+2\,\frac{x^2}{2}=e^x+x^2$$$$\int\left(x^2-e^x\right)\,dx=\frac{x^3}{3}-e^x$$$$\int\left(0,5e^x-2\right)\,dx=0,5e^x-2\,\frac{x^1}{1}=0,5e^x-2x$$$$\int\left(e^x+\frac{7}{x^2}\right)\,dx=\int\left(e^x+7x^{-2}\right)\,dx=e^x+7\,\frac{x^{-1}}{-1}=e^x-\frac7x$$

Answer 2

Könntest du eine Ableitung bilden? Kannst du daraus Rückschlüsse ziehen, welche Funktion du ableiten müsstest, damit die gegebenen Funktionen herauskommen?

a) F(x) = e^x + x^2

b) F(x) = 1/3·x^3 - e^x

c) F(x) = 0.5·e^x - 2·x

d) F(x) = e^x - 7/x