Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung (oben).

Question

Aufgabe: (e^z )³= e³ _*i

_{Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung (oben).}

_{Stellen Sie i in Polarkoordinaten dar. Es gibt unendlich viele Lösungen.}

Problem/Ansatz:

Ich bin wie folgt vorgegangen um die Gleichung in z=x+iy Form zu bringen.

e^3x+3iy —> raus habe ich in Polarform e^3*e^pi/2i

Aber wie finde ich die Lösungen k€z?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.\left(e^z\right)^3=e^3\cdot i\quad\right|i=e^{i\left(\frac\pi2+2\pi\,k\right)}\;;\;k\in\mathbb Z$$$$\left.e^{3z}=e^{3+i\left(\frac\pi2+2\pi\,k\right)}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.3z=3+i\left(\frac\pi2+2\pi\,k\right)\quad\right|\colon3$$$$\left.z=1+i\left(\frac\pi6+\frac{2\pi}{3}\,k\right)=1+i\,\frac{\pi+4\pi\,k}{6}\quad\right.$$Wegen \(k\in\mathbb Z\) gibt es unendlich viele Lösungen, von denen aber nur die für \(k=0,1,2\) numerisch unterschiedlich sind.

Comments

wow!

Vielen Dank Dir!!!

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Die letzte Bemerkung von T ist falsch. Für k=0 und k=3 (zum Beispiel) erhält man die Lösungen

$$z=1+i\frac{\pi}{6} \text{ und  } z=1+i\frac{\pi}{6} +2 \pi i$$

die numerisch unterschiedlich sind.

Gruß Mathhilf