Lösungsmenge einer komplexen Gleichung in Polarkoordinaten

Question

ich möchte gerne folgendes z³=10i in Polarkoordinaten lösen.

Mein Ansatz ist r=10 hoch (1/3)
mein winkel φ= arctan(0/10) =0

Also müsste doch z³= 10hoch(1/3) * cos(0*3)+isin(0*3) sein...

nur komme ich leider nicht auf die Lösungsmenge der Gleichung.

Es wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte.
Ich bin am Verzweifeln.

:D

Answer 1

zuerst einmal \(10i\) in Polarkoordinaten:

$$ z^3 = 10i = 10\exp \left(i \left(\frac{\pi}{2} + k2\pi \right) \right), k \in \mathbb{Z}$$

Dritte Wurzel auf beiden Seiten ziehen:

$$ z_k = \sqrt[3]{10} \exp \left(i  \frac{4k+1}{6}\pi \right)$$

Um alle unterschiedlichen Lösungen \(z_k\) zu finden musst du jetzt noch schauen für welche \(k\)

das \( \arg(z_k) = \frac{4k+1}{6}\pi \) im Intervall \( [0, 2\pi] \) liegt.

Gruß