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Aufgabe:

Hallo ihr Lieben, ich habe eine kleine Schwierigkeit beim Aufstellen einer Tangentengleichung.

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/48x^3 - 3/8x^2 +27/16x +1

In dem ersten Teil der Aufgabe soll man eine Geradengleichung aufstellen mit den Punkten H(3|13/4) und T(9|1).

Dies ist aber kein Problem.

Als Ergebnis habe ich f(x) = -3/8x +4,375

Jedoch bereitet mir der zweite Teil der Aufgabe Schwierigkeiten.

Diese lautet:


Berechnen Sie, für welches x<3, die Tangente an f(x) die Gerade s orthogonal schneidet und stellen sie die zugehörige Tangentengleichung auf.


Problem/Ansatz:

Nun zu dem Problem.

Ich habe zuerst die Steigung der Tangenten ermittelt, mit Hilfe des Verhältnis m1*m2 =-1, also muss die Steigung der Tangenten 8/3 sein…

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll, um die Tangentgleichung aufzustellen…


Ich würde mich über Eure Hilfe freuen und ich danke schonmal im Voraus.

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Beste Antwort

Hallo,

setze f'(x) = 8/3 und löse nach x auf.

Das Ergebnis < 3 ist das gesuchte. Berechne dann noch die y-Koordinate und du hast alles, was du für die Gleichung brauchst.

blob.png

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Vielen Dank ! Jetzt habe ich es verstanden…. Habe mal wieder zu kompliziert gedacht.

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Da deine Gerade f(x) = -3/8*x +4,375 die Steigung -3/8 hat ist eine Senkrechte Steigung dazu 8/3. Wir müssen also schauen wo unsere Funktion die Ableitung 8/3 hat.

f(x) = 1/48·x^3 - 3/8·x^2 + 27/16·x + 1

f'(x) = 1/16·x^2 - 3/4·x + 27/16 = 8/3 → x = 6 - √465/3 = - 1.188

Skizze

~plot~ 1/48x^3-3/8x^2+27/16x+1;4.375-0.375·x;2.667x+1.599;{3|13/4};{9|1};[[-3|15|-4|8]] ~plot~

Avatar von 477 k 🚀

Vielen Dank erstmal für die sehr hilfreiche Antwort.

Jedoch habe ich noch eine Frage…

Wie berechne ich mit der Nullstelle -1.188 dann den x-Achsenabschnitt ?

Ich nehme an, du meinst den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Setze die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein. Ich denke, auf diesem Weg hattest du auch die Gleichung durch die Extrempunkte bestimmt.

Habe mich vertippt ich meinte natürlich den Schnittpunkt mit der y-Achse :)

Ich habe das so versucht :

P(-1,188|0)

y=m*x +b

0=8/3*-1,188+b

0=-3,168 +b |+3,168

3,168=b

Ich komme irgendwie nicht auf die 1,6 beim Schnittpunkt mit der y-Achse.

Die y-Koordinate des Punktes ist nicht null, sondern f(-1,188) = -1,569

Allgemeine Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form

t(x) = f'(6 - √465/3)·(x - (6 - √465/3)) + f(6 - √465/3)

Man kann natürlich auch die gerundete Dezimalzahl einsetzen.

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