Statistik-Aufgabe ohne Lösungsansatz. Thema Stetige Dichtefunktion/Verteilungsfunktion

Question

1. Aufgabe:

Mit reellen Parametern a, b und c ist die folgende Funktion gegeben:

Text erkannt:

\( f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x-x^{2} & \text { für } 0 \leq x \leq 1 \\ a x+b & \text { für } 1<x \leq c \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)

Bestimmen Sie die Parameterwerte so, dass f_X stetige Dichtefunktion einer Verteilungsfunktion F_X ist; f_X muss also stetig sein, und es muss gelten:

Text erkannt:

\( \int \limits_{I R} f_{X}(x) d x=1 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider bei der Aufgabe keinen hinreichenden Ansatz, da diese sich komplett von den bisherigen Übungsaufgaben unterscheidet. Ich wäre sehr erfreut, wenn mir jemand den Lösungsweg aufzeigen könnte, damit ich das nachvollziehen kann.

Answer 1

1)

2·1 - 1^2 = a·1 + b → a + b = 1

∫ (0 bis 1) (2·x - x^2) dx + ∫ (1 bis e) (a·x + b) dx = 1 → 3·a·(e + 1)·(e - 1) + 6·b·(e - 1) = 2

Löse das entstehende Gleichungssystem

a = 2·(4 - 3·e)/(3·(e - 1)^2) = -0.9382 ∧ b = (3·e^2 - 5)/(3·(e - 1)^2) = 1.9382