Kann m i r bei b und c helfen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

7 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f \operatorname{im}$ Punkt $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0} \mid f\left(\mathrm{x}_{0}\right)\right)$.
a) $f(x)=e^{0,8 x} ; x_{0}=0$
b) $f(x)=0,5 e^{-2 x} ; x_{0}=-1$
C) $f(x)=4 e^{-0,1 x} ; x_{0}=2$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei b und c helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung einer Tangente $t(x)$ an eine Funktion $f(x)$ im Punkt $x_0$ lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Wir müssen also für der Stelle $x_0$ nur den Funktionswert und die erste Ableitung bestimmen, um die Tangente hinschreiben zu können:

Bei (b) haben wir die Stelle $x_0=-1$ und die beiden entscheidenden Werte sind:$$f(x)=-0,5e^{-2x}\implies f(-1)=-0,5e^2=-\frac{e^2}{2}$$$$f'(x)=e^{-2x}\implies f'(-1)=e^2$$Damit lautet die gesuchte Tangente:$$t(x)=-\frac{e^2}{2}+e^2(x-(-1))=-\frac{e^2}{2}+e^2x+e^2=e^2x+\frac{e^2}{2}=\underbrace{e^2}_{\approx7,3891}\cdot\left(x+\frac12\right)$$

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f₁(x) = -0,5·e^(-2x)P(-1|-e²/2)f₂(x) = e²(x+1/2)Zoom: x(-2…1) y(-10…5)

Bei (c) haben wir die Stelle $x_0=2$ und die beiden benötigten Werte sind:$$f(x)=4e^{-0,1x}\implies f'(2)=4e^{-0,2}$$$$f(x)=-0,4e^{-0,1x}\implies f'(2)=-0,4e^{-0,2}$$Damit lautet die Tangente:$$t(x)=4e^{-0,2}-0,4e^{-0,2}\cdot(x-2)=-0,4e^{-0,2}x+4,8e^{-0,2}=\underbrace{-0,4e^{-0,2}}_{\approx-0,3275}\left(x-12\right)$$

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f₁(x) = 4·e^(-0,1x)P(2|4·e^(-0,2))f₂(x) = -0,4·e^(-0,2)·(x-12)Zoom: x(-2…5) y(2,5…5)