Unendliche Reihe ∑(-1)^n* 2^n/e^n auf Konvergenz untersuchen

Question

ich soll die folgende unendliche reihe auf konvergenz untersuchen:

∑(-1)ⁿ* 2ⁿ/eⁿ

ich hab versucht die aufgabe durch das leibnizsches konvergenzkriterium zu lösen, bin aber nicht weit gekommen da das erste glied der reihe negativ ist wegen dem fakor (-1)^n und das zweite glied positiv usw. aber um das leibnizsches konvergenzkriterium anwenden zu können muss das erste glied größer als das zweite glied sein und das zweite größer als das dritte usw. (a₁ > a₂ > a₃ ...a_n > a_n+1 >...) diese bedingung trifft leider nicht zu und ich wüsste nicht wie ich es sonst auf konvergenz untersuchen könnte.

Answer 1

Hier handelt es sich um eine geometrische Reihe, da sich die Summanden auch als 

(-2/e)^n schreiben lassen. a₁=(-2)/e falls die Summation bei n=1 beginnt. bei n=0 einfach 1,

q = (-2/e) . q ist betragsmässig <1 deshalb konvergiert die Reihe.

 

Anmerkung 1: Harmonische Reihe ist etwas anderes: Summiert wird da über a_n = 1/n

Anmerkung 2: Alternierende Reihen, deren Folgenglieder gegen 0 konvergieren, konvergieren immer.

Answer 2

Die Monotonie muss für die Beträge der Summanden gelten und das ist in diesem Fall erfüllt!

Der Betrag ist einfach nur

2ⁿ/eⁿ = (2/e)ⁿ

und weil e > 2 ist 2/e kleiner als 1 und somit (2/e)ⁿ eine monoton fallende Folge.
Also arbeitet das Leibnizkriterium und die Reihe ist konvergent.

Comments

aha, also spielt es keine rolle das dass erste glied kleiner als das zweite ist?

angenommen ich hätte eine andere harmonische reihe, müsste ich dann nur gucken ob der limes von n gegen unendlich null ergibt?