Parameter C mit Simpson-Regel ermitteln

Question

Aufgabe: Für den entstandenen Rotationskörper wurde in den Grenzen 2<x<4 mit Hilfe der Simpson-Regel (h=1) eine Mantelfläche Mx=20620 FE ermittelt.

Für die um die x-Achse rotierende Funktion $$y=2x^3-8x+C$$ soll der zugehörige Parameter C berechnet werden. Es soll kein Verbesserungsschritt durchgeführt werden.

Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung lautet wie folgt:  $$y=6x^2-8$$

Meine Stützstellen lauten 2, 3 und 4.

Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche Mx lautet: $$M_{x}=2{ \cdot \pi}\int \limits_{2}^{4}y*\sqrt{1+y`^2}$$

Nun alles eingesetzt: $$M_{x}=2{ \cdot \pi}\int \limits_{2}^{4}2x^3-8x+C*\sqrt{1+(6x^2+8)^2}$$

Weiter komme ich jetzt nicht mehr. Rechne ich die Werte für die Stützstellen mit dem vollständigen Integral (mit 2*pi) oder mit welchem Teil genau?

Comments

Hat niemand ein Tipp oder Ansatz zu meiner Frage?

Answer 1

Hallo du rechnest das Integral Mx mit der Simpsonregel aus

Gruß lul

Comments

Okay. Danke für deine Antwort. Und welche y-Werte benutze ich dafür?

Also anders gesagt, mit welcher Formel berechne ich die Stützstellen?

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Da h=1 sind die Stützstellen :

2|2,5|3 und 3| 3,5 |4 wenn h den Gesamtschritt angibt, wenn h den Abstand der Stützstellen angibt  einfach 2, 3,4

Gruß lul

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Habe mich etwas unglücklich ausgedrückt. Die stützstellen sind ja durch die Grenzen vorgegeben. Ich meinte die y-werte der stützstellen 2,3 & 4

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Einfach die Funktionswerte  der Gesamtfunktion die im Integral steht, einschließlich dem C

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Das Integral für die Oberfläche des Rotationskörpers ist fast richtig. Es fehlt nur eine Klammerung und in der Ableitung taucht ein falsches Vorzeichen auf:$$F=2\pi\int\limits_2^4\underbrace{(2x^3-8x+C)\sqrt{1+(6x^2-8)^2}}_{\eqqcolon f(x)}\,dx$$Das teilen wir in die Schrittweite $h=1$ auf:$$F=2\pi\left(\,\int\limits_2^3f(x)\,dx+\int\limits_3^4f(x)\,dx\right)$$und berechnen jedes dieser beiden Integrale mit der Simpson-Regel. Das heißt, wir berechnen den Wert des Integranden $f(x)$ an der linken Intervall-Grenze, in der Mitte des Intervalls und an der rechten Intervall-Grenze. Diese Werte addieren wir dann gewichtet im Verhältnis 1:4:1.$$F=2\pi\left(\frac{f(2)+4\cdot f(2,5)+f(3)}{6}+\frac{f(3)+4\cdot f(3,5)+f(4)}{6}\right)$$$$\phantom F=\frac\pi3\left(f(2)+4\cdot f(2,5)+2\cdot f(3)+4\cdot f(3,5)+f(4)\right)$$Die einzelnen Werte sind$$f(2)=(0+C)\sqrt{257}$$$$4\cdot f(2,5)=4\cdot(11,25+C)\sqrt{871,25}$$$$2\cdot f(3)=2\cdot(30+C)\sqrt{2117}$$$$4\cdot f(3,5)=4\cdot(57,75+C)\sqrt{4291,25}$$$$f(4)=(96+C)\sqrt{7745}$$Damit erhalten wir für die Oberfläche$$F=\frac\pi3\left(576,1569475\cdot C+27669,72328\right)\stackrel!=20620\quad\implies\quad C=-13,8488$$

Bitte die Funktionswerte nochmal nachrechnen, das war etwas fummelig.

Comments

Hallo, vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Könntest du mir erklären wie du auf π/3 vor der Klammer kommst?

Beim Nachrechnen habe ich mit 2π*1/3 gerechnet und erhalte 2/3π. Liege ich Richtig mit der Annahme, dass die Differenz daher kommt, weil du mit der Schrittweite 0,5 statt 1,0 gerechnet hast?

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Ich habe die $6$ aus den Nennern der beiden Brüche vor die Klammer gezogen:$$2\pi\cdot\frac16=\frac\pi3$$

Ich habe mit Schrittweite 1 gerechnet. Dazu habe ich das Integral von 2 bis 4 in ein Integral von 2 bis 3 und ein Integral von 3 bis 4 aufgeteilt. Jedes Integral hat die Schrittweite 1. Jedes diese beiden Integrale wird dann mit der Simpson-Regel$$\frac{f(\text{links})+4\cdot f(\text{mittig})+f(\text{rechts})}{6}$$berechnet.