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Aufgabe:

Hallöchen,                       U1 und U2 sind Unterräume von V


kann mir jemand sagen, warum folgendes gilt:


U1 + U2 = ( u1 + u2 Ι u1 ∈ U1 ; u2 ∈ U2)

U1 + U2 = span ( U1 ∪ U2 )

Die Menge aller Linearkombinationen aus U1 ∪ U2 scheint mir von der Vorstellung größer...

Habe auch ne Nacht drüber geschlafen, kann mir den Raum aber einfach nicht vorstellen.
Problem/Ansatz:

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

zur Vorstellung erstmal im R^2

U1=span(1,0), U2=span(0,1)  d.h, u1∈U1 heisst u1=r*(1,0) r ∈R entsprechend u2∈U2

U1+U2=r(1,0)+s(0,1) also Span{U1∪U2}  jetzt muss du erklärt, warum du findest, dass der Span größer ist, (vielleicht weil du nich an ein beliebiges u1 denkst sondern an ein einzelnes?)

Gruß lul

von 83 k 🚀

ja es lag glaube ich echt daran dass ich an ein einzelnes u1 dachte! Also geht es um ein beliebieges...Danke für den Tipp,

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\(U_1+U_2\) ist ein Unterraum von \(V\).

Allgemein ist für eine Teilmenge \(M\subseteq V\)

\(span(M)\) der bzgl. "\(\subseteq\)" kleinste Unterraum von \(V\),

der \(M\) enthält. Daher ist \(span(U_1\cup U_2)\) der kleinste

Unterraum von \(V\), der \(U_1\) und \(U_2\) enthält.

Da auch \(U_1+U_2\) sowohl \(U_1\) als auch \(U_2\)

enthält, folgt somit \(span(U_1\cup U_2)\subseteq U_1+U_2\).

von 15 k

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