Abstand eines Punktes von einer Geraden zu einer Ebene

Question

Aufgabe:

Hallo, ich komme bei Teilaufgabe b) nicht mehr weiter. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Es gibt einen weiteren Punkt auf Geraden \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), der von Ebene \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \) den Abstand d aus Aufgabenteil a) ( 15; siehe Rechnung) hat. Berechnen Sie seine Koordinaten.

Problem/Ansatz:

Aufgabenteil a) habe ich gelöst. Bei b) weiß ich jedoch nicht mehr weiter. Hier meine bisherige Rechnung:

P (3|1|1)

\(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

a) \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \)
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 10 \\ 11\end{array}\right) \)
\(2 \cdot(3+2 r)+10 \cdot(1+10 r)+11 \cdot(1+11 r)=25-2 \)
\( 6+4 r+10+100 r+11+121 r=252 \)
\( 225 r=225  |: 225 \)

\( r=1 \)

\( 3+2=5 \)

\( 1+10=11 \quad a(5 / 11 / 12) \)
\( 1+11=12 \)
\( |\overrightarrow{F D}|=\sqrt{(5-3)^{2}+(11-1)^{2}+(12-1)^{2}}=15 \)

b) \( 2 \cdot(-6-3 r)+10 \cdot(4+r)+11 \cdot(4+r)=252 \)
\( -12-6r+40+10r+44+11r=252 \)
\( 15 r=180 |: 15 \)

\( r=12 \)

\( -6+12 \cdot(-3)=-42 \)
\( 4+12 \cdot 1=16 \)
\( 4+2 \cdot 1=16 \)

Answer 1

Hallo

die Ebene in die Normalform bringen dann einen allgemeinen Punkt der Ebene einsetzen, gibt dir den Abstand d , daraus r bestimmen

Comments

Ich habe den Abstand d doch schon aus Teilaufgabe a), dieser beträgt ja 15. Oder verstehe ich etwas falsch.

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Was ich absolut nicht verstehe:

Warum hast du aus der Geraden g eine (wieder so genannte) Gerade g gemacht?

Du bekommst durch Einsetzen von r=-3 zwar einen weiteren Punkt auf der erstgenannten Geraden g, aber der neue Richtungsvektor ist völlig anders.

Du kannst doch nicht zwei in verschiedene Richtungen verlaufende Geraden identisch mit g bezeichnen.

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Hallo

du musst den Abstand =15 wenn das d ist nehmen und jetzt einen Allgemeinen Punkt von g einsetzen dann hast du eine Gleichung für r

Gruß lu

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Ich habe eine Lotgerade g zu E durch R erstellt und dann den Schnittpunkt von E und g berechnet.

Answer 2

@abakus Bis zum Schnittpunkt bin ich ja gekommen. Wenn ich mich nicht täusche ist dieser ja -42; 16;16.

Ja, eine Probe bestätigt das. Dieser Punkt liegt auch in der gegebenen Ebene

\( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \).

Jetzt brauchst du dazu zwei Parallelebenen im Abstand 15. Witzigerweise hat der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 2\\10\\11 \end{pmatrix} \) dieser Ebene genau den Betrag 15. Wenn du also zum Ortsvektor von (-42; 16;16.) diesen Vektor addierst, bekommst du den Ortsvektor des Punktes (-40|26|27). Die Parallelebene mit diesem Punkt hat die Gleichung \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=d\), und das richtige d erhält man, wenn man die Koordinaten von (-40|26|27) einsetzt, erhält man d=477.

Die eine Parallelebene im Abstand 15 ist also \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\).

Die andere Parallelebene (einen Punkt darin bekommst du, wenn du vom Ortsvektor von (-42; 16;16.) den Normalenvektor subtrahierst) hat die Gleichung \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\).

Die Schnittpunkte der Gerade mit den Ebenen \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\) und \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\). sind deine beiden gesuchten Punkte.

Comments

Danke dir schonmal. Könntest du mir vielleicht noch sagen/zeigen, wie man den "unteren" Punkt berechnet?

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@NutzenderNutzer: Hast Du die Koordinaten des "oberen" Punktes?

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Könntest du mir vielleicht noch sagen/zeigen, wie man den "unteren" Punkt berechnet?

Echt jetzt?

Der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene liegt doch genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten!

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@döschwo Ja, 5;11;12. Siehe Teilaufgabe a)

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Siehe Teilaufgabe a)

Nur hast Du uns diese nicht mitgeteilt...

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Natürlich, schau dir doch die Rechnung an. Die ist in a) und b) unterteilt.

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@abakus Bis zum Schnittpunkt bin ich ja gekommen. Wenn ich mich nicht täusche ist dieser ja -42; 16;16. Aber weiter komme ich nicht. Wie komme ich den zum zweiten Punkt?

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Gehe vom Punkt zum Schnittpunkt und dann nochmal genau so weit weiter.

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Achso, habs gecheckt. Danke

Answer 3

Die Ebene \( E: \,\, 2 x_{1} + 10 x_{2} + 11 x_{3} = 252\) schreibt sich in Parameterform als

\(E: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 126\\0\\0 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} -1260\\252\\0 \end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix} -1386\\0\\252 \end{pmatrix} \)

Der Abstand von der Geraden

\(g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -6\\4\\4 \end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix} -3\\1\\1 \end{pmatrix} \)

betrage \(d = 15\) .

Der euklidische Abstand

\(d = \sqrt{\small(-6-3t-(126-1260r-1386s))^2+(4+t-252r)^2+(4+t-252s)^2} = 15 \)

hat die Lösung \(t= 12 \pm 5\cdot\sqrt{\frac{3}{2}} \)

Damit findet man die beiden Punkte.

Comments

Warum um Himmels Willen wandelst du die für die Abstandsberechnung leicht handelbare Koordinatenform in die unhandliche Parameterform um?

Answer 4

Hallo,

Abstandsformel für Punkt - Ebene:

\( d(P;E)=\frac{\left|n_{1} p_{1}+n_{2} p_{2}+n_{3} p_{3}-d\right|}{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}} \)

\(p_1=-6-3r\quad p_2=4+r\quad p_3=4+r\\ 15=\frac{|2(-6-3r)+10(4+r)+11(4+r)-252|}{\sqrt{225}}\\ 225=|-12-6r+40+10r+44+11r-252|\\ |-180+15r|=225\)

Jetzt zwei Fallunterscheidungen:

\(-180+15r=225\quad \Rightarrow r=27\quad P_1(-87|31|31)\\ -180+15r=-225\quad\Rightarrow r= -3\quad P_2(3|1|1)\)

Gruß, Silvia