Gleichung einer Geraden durch Punkt und parallel zur Ebene

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E=x+ 3y + 2z = 6.

Es gibt unendlich viele Geraden, die parallel zu E sind und durch den Punkt P(2 | 5| 7)
verlaufen. Bestimmen Sie eine Gleichung einer solchen Geraden q.

Problem/Ansatz:

Parallel bedeutet ja wenn man die Gerade in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzt und eine Variable rausbekommt, dass die Lösung dann nicht aufgehen darf, also eine falsche Aussage rauskommen muss. Ich komme durch probieren auf eine Gleichung, aber wie kommt man da durch gezieltes Vorgehen drauf? Ohne lange rum zu experimentieren, das geht doch bestimmt auch? Danke schonmal

Answer 1

Normalenvektor von E ist [1, 3, 2]. Senkrecht dazu ist z.B. [3, -1, 0]

Also könnte eine Gerade lauten:

g: X = [2, 5, 7] + r * [3, -1, 0]

Comments

Ich sehe gerade, dass du auch bei den ähnlichen Fragen hättest schauen können. Da habe ich eine ähnliche Frage schon beantwortet.

https://www.mathelounge.de/113259/geben-eine-gleichung-gerade-parallel-durch-punkt-verlauft

---

Ahh genau, so ging das, dankeschön:)

Answer 2

Bestimme zwei Punkte \(A\) und \(B\) in der Ebene.

Verwende \(\vec{OP}\) asl Stützvektor und \(\vec{AB}\) als Richtungsvektor der Geraden.

Answer 3

Wie du dich leicht überzeugen kannst, ist die Ebene x+ 3y + 2z = 6 zu Ebenen wie

x+ 3y + 2z = 0,

x+ 3y + 2z = 7

oder

x+ 3y + 2z = 22

parallel. Es kann ja keinen Punkt (x,y,z) geben, für den

x+ 3y + 2z GLEICHZEITIG den Wert 6  und auch noch einen von 6 verschiedenen Wert annimmt.

Nun gibt es auch eine Ebene der Form x+ 3y + 2z = d, die den Punkt (2 | 5| 7) enthält.

Durch Einsetzen der Koordinaten dieses Punktes wirst du feststellen, dass dies die Ebene

x+ 3y + 2z = 31 ist.

Da dies eine Parallelebene zu x+ 3y + 2z =6 ist, ist auch jede Gerade innerhalb der Ebene x+ 3y + 2z =31 parallel zur Ebene x+ 3y + 2z =6.

Suche dir also neben dem Punkt (2 | 5| 7) noch einen zweiten Punkt aus, dessen Koordinaten die Gleichung x+ 3y + 2z =31 erfüllen.

Schon hast du zwei Punkte, die eine Gerade parallel zur Ebene x+ 3y + 2z =6 bestimmen.

Comments

Dankeschön für die Mühe :)