Monotonie von 1/x mithilfe der 1. Ableitung

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zur Monotonie von x-->1/x.

Mit der herkömmlichen Definition für "streng monoton fallend" (Für x,y aus D mit x<y gilt f(x)>f(y)) ist die Funktion nicht streng monoton fallend auf R außer 0.

Mit der Definition mithilfe der ersten Ableitung aber doch schon? Für alle x aus D gilt doch dann f'(x)<0 ?

Wo ist mein Denkfehler?

Tausend Dank und frohe Ostern!

Answer 1

Das Kriterium mit der 1. Ableitung ist keine Definition
der Monotonie, sondern ein Satz, der nur über zusammen-
hängenden Intervallen ein hinreichendes Kriterium für Monotonie
liefert.

Answer 2

Wenn \( 0 < x < y \) gilt, folgt doch wegen \( x y > 0 \) auch $$  \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $$ Die anderen Fälle gehen genauso.

Comments

Was ich nicht verstehe:

Die Aussage:

f ist smf für x<0 und smf für x>0

stimmt.

Die Aussage:

f ist smf fallend auf R ausser 0 (was für mich irgendwie das gleiche ist) ist falsch - wieso?

@ullim: ja, das stimmt so, aber es gilt aus -1<1 und f'(-1)<f'(1) was ja der Definition von "streng monoton fallend" widerspricht ...

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Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist nicht streng monoton fallend auf \(\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace \) sondern streng monoton fallend auf \( \mathbb{R}_+ \setminus \lbrace 0 \rbrace \) und \( \mathbb{R}_- \setminus \lbrace 0 \rbrace \)