Finden Sie eine geschlossene Darstellung für an für alle n ∈ N

Question

Aufgabe:

$a_1 = \frac{1}{3}$

$a_2 = \frac{4}{9}$

$a_n = \frac{4a_{n-1}-a_{n-2}}{3}\quad\text{für }n\ge3$

Finden Sie eine geschlossene Darstellung für an für alle n ∈ N

Problem:

Ich hab leider noch nicht mal einen Ansatz wie ich die Aufgabe löse und wäre sehr erfreut über einen Ansatz oder eine Erklärung wie man da vorgeht.

Answer 1

Aloha :)

Die rekusriv definierte Folge$$a_n=\frac{4a_{n-1}-a_{n-2}}{3}\quad;\quad a_2=\frac49\quad;\quad a_1=\frac13$$hat folgende erste Werte:$$a_1=\frac13\quad;\quad a_2=\frac49\quad;\quad a_3=\frac{13}{27}\quad;\quad a_4=\frac{40}{81}\quad;\quad a_5=\frac{121}{243}\quad;\quad a_6=\frac{364}{729}$$

In den Nennern der $a_n$ finden wir offensichtlich $3^n$. Wenn man die Zähler verdoppelt, sind sie um $1$ kleiner als die Nenner. Daher vermuten wir folgenden geschlossenen Ausdruck:$$a_n=\frac{\frac12\left(3^n-1\right)}{3^n}=\frac{3^n-1}{2\cdot3^n}\quad\text{für }n\in\mathbb N$$

Wir beweisen die Gültigkeit durch vollständige Induktion.

1) Verankerung bei $n=1$ und $n=2$:$$a_1=\frac{3^1-1}{2\cdot3^1}=\frac26=\frac13\quad\checkmark\quad;\quad a_2=\frac{3^2-1}{2\cdot3^2}=\frac{8}{18}=\frac49\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt von $(n-2)$ und $(n-1)$ auf $n$:

$$a_n=\frac{4a_{n-1}-a_{n-2}}{3}=\frac{4\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2\cdot3^{n-1}}-\frac{3^{n-2}-1}{2\cdot3^{n-2}}}{3}=4\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2\cdot3^{n-1}\cdot3}-\frac{3^{n-2}-1}{2\cdot3^{n-2}\cdot3}$$$$\phantom{a_n}=4\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2\cdot3^n}-\frac{3^{n-2}-1}{2\cdot3^{n-1}}=\frac{4\cdot(3^{n-1}-1)}{2\cdot3^n}-\frac{3\cdot(3^{n-2}-1)}{2\cdot3^n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{4\cdot3^{n-1}-4-3\cdot3^{n-2}+3}{2\cdot3^n}=\frac{4\cdot3^{n-1}-1-3^{n-1}}{2\cdot3^n}=\frac{3\cdot3^{n-1}-1}{2\cdot3^n}=\frac{3^n-1}{2\cdot3^n}$$

Comments

Die Verweigerung des Fragestellers, zwei weitere Folgenglieder zu berechnen, wird mit einer handfesten Komplettlösung belohnt.

Tschaka kann wohl nicht anders.

Answer 2

Ich hab leider noch nicht mal einen Ansatz

Um einen solchen zu bekommen, hast du doch bestimmt schon längst a_3 und a_4 ausgerechnet?

Comments

Eine Stunde später:

a_3 = ...?

a_4 = ...?