0 Daumen
104 Aufrufe

Aufgabe:

"Berechnen sie den Abstand der Geraden g und h. Geben sie den Lotfußpunkt an."

g: x = (1,1,1) + s * (-3,0,2)
h: x = (6,6,18) + r * (3,-4,1)


Problem/Ansatz:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen und mein Ergebniss kontrollieren? Ich habe für den Abstand jetzt 17 raus; und meine Lotfußpunkte sind (-5/1/5) und (3/10/17).

Vielen Dank.

von

2 Antworten

0 Daumen

Das habe ich auch.                           .

blob.png

von 33 k
0 Daumen

Aloha :)

$$\vec x_g=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-3s\\1\\1+2s\end{pmatrix}\;;\;\vec x_h=\begin{pmatrix}6\\6\\18\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+3r\\6-4r\\18+r\end{pmatrix}$$

Als allgemeinen Verbindungsvektor beider Geraden haben wir damit:$$\vec d=\vec x_h-\vec x_g=\begin{pmatrix}6+3r\\6-4r\\18+r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1-3s\\1\\1+2s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+3r+3s\\5-4r\\17+r-2s\end{pmatrix}$$

Der minimale Verbdindungsvektor steht auf beiden Geraden senkrecht:$$0\stackrel!=\vec d\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}=-7r-13s+19\implies 7r+13s=19$$$$0\stackrel!=\vec d\cdot\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}=26r+7s+12\;\;\;\implies 26r+7s=-12$$Die Lösung dieses kleinen Gleichungssystems ist \(r=-1\) und \(s=2\).

Das liefert die Lotfußpunkte \(L_g(-5|1|5)\) und \(L_h(3|10|17)\).

Ihr Abstand beträgt:$$d_{\text{min}}=\sqrt{(3-(-5))^2+(10-1)^2-(17-5)^2}=\sqrt{289}=17$$

Damit ist dein Ergebnis bestätigt\(\quad\checkmark\)

von 124 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community