Esist immer dasselbe Prinzip:
Produktregel:
f ' ( x ) = u ' * v + u * v '
Kettenregel:
"innere Ableitung *äußere Ableitung"
Damit erhält man für die ersten beiden Funktionen:
1)
$$f(x)=\frac { 1 }{ x } *{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$u=\frac { 1 }{ x } ={ x }^{ -1 }$$$$u'=-{ x }^{ -2 }=\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } }$$$$v{ =e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$v'=-2x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$Daher: $$f'(x)=u'*v+u*v'$$$$=\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } } *{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } *-2x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$=-\left( \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -2 \right) { e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$
2)
$$f(x)=√({ x }^{ 2 }+1)*{ e }^{ -x }$$$$u=√({ x }^{ 2 }+1)=({ x }^{ 2 }+1)^{ \frac { 1 }{ 2 } }$$$$u'=2x*\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+1)^{ -\frac { 1 }{ 2 } }=\frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) }$$$$v={ e }^{ -x }$$$$v'=-{ e }^{ -x }$$Daher:$$f'(x)=\frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) } *{ e }^{ -x }+√({ x }^{ 2 }+1)*(-e^{ -x })$$$$={ e }^{ -x }\left( \frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) } -√({ x }^{ 2 }+1) \right)$$$$={ e }^{ -x }\left( \frac { -{ x }^{ 2 }+x-1 }{ √({ x }^{ 2 }+1) } \right)$$
Versuche nun, die nächsten drei Aufgaben selbst zu lösen. Wenn du noch Hilfe brauchst- einfach melden.
