Bestimmen Sie den Abschluss der Menge

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abschluss der Menge

        d := {(x_k)_k∈ℕ ∈ ℝ^ℕ| ∃K ∈ ℕ : x_k = 0 ∀k ≥ K}

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich bin mir ziemlich unsicher bei der Menge, wie der Abschluss aussehen soll. Für mich sieht die Menge schon abgeschlossen aus. Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Comments

Was ist die Menge N?

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Und welche Metrik wird zugrundegelegt?

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@Nilla Ich habe deine Menge mal überarbeitet. Ist das so richtig? Dann hätte sich die Frage nach dem N geklärt.

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Tut mir leid, ich habe vergessen das mitzuschreiben. Das sind noch die Angaben zur der Aufgabe:

Sei l^∞ := {(x_k)_k∈N ⊂ Rⁿ| ||(x_k)_k∈N||_∞ < ∞} ein normierter
Vektorraum mit
||(x_k)_k∈N||_∞ := sup_k∈N||x|| ,(x_k)_k∈N ∈ l^∞

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Du meinst sicher $(x_k)_{k\in N}\in R^N$ und nicht $\subset R^n$, oder?

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@ermanus in der Aufgabenstellung steht ⊂ℝⁿ

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Tut mir leid für die Verwirrung. Die Aufgabenstellung lautet:

Sei l^∞ := {(x_k)_k∈ℕ ⊂ ℝⁿ| ||(x_k)_k∈ℕ||_∞ < ∞} ein normierter
Vektorraum mit
||(x_k)_k∈ℕ||_∞ := sup_k∈ℕ||x_k|| ,(x_k)_k∈ℕ ∈ l^∞.

Bestimmen Sie den Abschluss der Menge d := {(x_k)_k∈ℕ ⊂ ℝⁿ| ∃K ∈ ℕ: x_k = 0 ∀k ≥ K}

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Du hast immer noch den Fehler drin:

Es muss $(x_k)_{k\in N}\in R^N$ heißen und nicht $\subset R^n$

Answer 1

Wenn Du eine konvergente Folge aus der Menge $d$ nimmst die gegen die Folge $x$ konvergiert, dann ist die Menge $d$  abgeschlossen, wenn $x \in d$ gilt.

Sei jetzt $x^{(n)}$ eine konvergente Folge aus $d$ die gegen $x$ konvergiert. Dann gilt, zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $n_0$ s.d. für alle $n > n_0$ $$\| x^{(n)} - x \|_\infty < \varepsilon$$ gilt. Da $x^{(n_0)} \in d$ gilt, ist $x^{(n_0)}_k = 0$ für $k \ge K$

Somit gilt für $k \ge K$

$| x^{(n_0)}_k - x_k | = | x_k |$

Wenn $x_k \notin d$ gilt, gibt es ein $k_0 > K$  mit $x_{k_0} \ne 0$

D.h. aber

$$| x_{k_0} | \le |x_k| = | x^{(n_0)}_k - x_k | \le \| x^{(n_0)} - x \|_\infty < \varepsilon$$

Wählt man jetzt $\varepsilon = \frac{|x_{k_0}|}{2}$ führt das zum Widerspruch und deshalb gilt $x \in d$ und somit ist der Abschluss der Menge $d$ identisch mit der Menge $d$, so wie vermutet.