Zeigen oder widerlegen Sie die Aussagen

Question

Wahr oder falsch?

Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
(i) Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ mit $|\mathcal{A}|=2048$.
(ii) Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ mit $|\mathcal{A}|=2021$.
(iii) Seien $P_{1}, P_{2}$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Omega, \mathcal{A})$ und $\alpha \in[0,1]$. Dann ist $\alpha P_{1}+(1-\alpha) P_{2}$ ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathcal{A})$.
(iv) Sei $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien $A, B \in \mathcal{A}$. Dann gilt
$P(A)+P(A \cup B) \geq P(B)+P(A \cap B) .$

Answer 1

(i) Gib passende $\Omega$ und $\mathcal{A}$ an.

(ii) Begründe warum eine $\sigma$-Algebra keine ungerade Anzahl von Elementen enthalten kann.

(iii) Überprüfe ob die Kolmogorov-Axiome erfüllt sind.

(iv) Verwende $P(R\cap S)\leq P(R) \leq P(R\cup S)$.

Comments

(i) Soll ich mir da einfach Zahlen ausdenken und so überprüfen, ob die Aussage stimmt?

(iv) Hier für R und S Mengen angeben und somit es überprüfen?

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(i) Nein, du sollst dir keine Zahlen ausdenken. $\Omega$ und $\mathcal{A}$ sind Mengen. Du sollst dir Mengen ausdenken.

(iv) Wenn du in $P(R\cap S)\leq P(R) \leq P(R\cup S)$ das $R$ durch $B$ ersetzt und das $S$ durch $A$ ersetzt, dann bekommst du

(*)        $P(B\cap A)\leq P(B) \leq P(B\cup A)$.

Die zwei Ungleichungen von (*) kannst du verwenden um $P(A)+P(A \cup B)$ zu verkleinern und $P(B)+P(A \cap B)$ zu vergrößern.