Parabel in Scheitelform

Question

Aufgabe:

Gleichung in Scheitelform notieren und mit der Parabel einzeichnen und die Nullstellen angeben. y=x²+10x+ 24

Problem/Ansatz:

Ich kenne schon die Lösung und die Nullstellen, da ich das Lösungsbuch habe. Jedoch verstehe ich den zweiten Schritt dieser Rechnung nicht:

y= x ²+10x+ 5²+24 - 5²

Wie komme ich hier denn auf die 5² ?

Würde mich freuen wenn das mir jemand erklären könnte :)

LG

Alina

Answer 1

x²+10x+ 5²

Das kann mit binomischer Formel zusammengefasst werden zu

        $(x + 5)^2$.

Wie komme ich hier denn auf die 5² ?

5 = 10/2

Answer 2

y = x² + 10x + 24
zu
y = x² + 10x + 5² +24 - 5²

5² ist die sogenannte Quadratische Ergänzung

Um hieraus " x² + 10x " eine binomische
Gleichung der Form " a² + 2ab + b² " zu machen

Dann entspricht
a²  = x²
a = x
-------------
2ab = 10 x
2b = 10
b = 5
-------------

b² = 5²

Jetzt addieren und durch die Gegenoperation
wieder aufheben
x² + 10x wird zu
x² + 10x + 5² - 5²
( x + 5 )² - 5²

Insgesamt
y = x² + 10x + 24
y = x² + 10x + 5² +24 - 5²
y = x² + 10x + 5² - 1
y = ( x + 5)² - 1
Dies ist die Scheitelpunktsform
S ( -5 | -1 )

So weit so gut.
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Answer 3

Aloha :)$$y=x^2+10x+24$$Um diese Parabel in der Scheitelpunktform zu schreiben, benötigst du die "qadratische Ergänzung". Dazu nimmst du die Zahl vor dem $x$, halbierst diese und quadrierst das Ergebenis $\left(\frac{10}{2}\right)^2=25$.

Das kriegen wir schnell hingebogen:$$y=x^2+10x+25-1=(x^2+10x+25)-1=(x+5)^2-1$$Der Scheitelpunkt ist daher: $\quad S(-5|-1)$.

Zur Bestimmung der Nullstellen kannst du die Parabelgleichung in Linearfaktoren zerlegen. Dazu brauchst du zwei Zahlen mit der Summe $10$ und dem Produkt $24$. Wegen $(6+4=10)$ und $(6\cdot4=24)$ sind diese beiden Zahlen die $4$ und die $6$. Daher lautet die Linearfaktorzerlegung:$$y=(x+4)\cdot(x+6)$$Die Nullstellen sind dort, wo einer der Faktoren null wird:$\quad N_1(-6|0)\;;\;N_2(-4|0)$

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f₁(x) = x²+10x+24P(-5|-1)P(-6|0)P(-4|0)Zoom: x(-8…1) y(-2…5)