Integral mit Substitutionsmethode

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \int \frac{x-3}{x^{2}-6x+10} \, dx$

Problem/Ansatz:

… Es soll das Integral mit der Substitutionsmethode berechnet werden. Wie mache ich das?

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$\int\frac{x-3}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\int\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\,dx=\frac12\ln\left|x^2-6x+10\right|\,dx+\text{const}$$

Wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist (wie hier), kannst du verwenden:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$

Dieses sehr nützliche Standard-Integral kannst du mit Subsitution schnell herleiten:$$u=f(x)\implies\frac{du}{dx}=f'(x)\implies dx=\frac{du}{f'(x)}\implies$$$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\int\frac{f'(x)}{u}\,\frac{du}{f'(x)}=\int\frac1u\,du=\ln|u|+\text{const}=\ln|f(x)|+\text{const}$$

Answer 2

Probiere mal

z = x² - 6·x + 10
1 dz = 2·x - 6 dx
dx = dz/(2·x - 6)

∫ (x - 3)/(x² - 6·x + 10) dx
= ∫ (x - 3)/z dz/(2·x - 6)
= ∫ 0.5/z dz
= 0.5·LN(z) + C

Resubst

= 0.5·LN(x² - 6·x + 10) + C