Stetigkeit für welche a ∈ ℝ ist f stetig?

Question

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) ist \( f \) stetig?
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x^{2}+4 & \text { für } x<\pi \\ -4 \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & \text { für } x \geq \pi \end{array}\right. \)

Kann mir wer bitte hierzu eine Lösung mit erklärung zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Damit die Funktion stetig ist, muss der linksseitige Grenzwert \((x\nearrow\pi)\) gleich dem rechtsseitigen Grenzwert \((x\searrow\pi)\) sein:$$\left.\lim\limits_{x\searrow\pi}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow\pi}f(x)\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.\lim\limits_{x\searrow\pi}\left(-4\sin\left(x-\frac\pi2\right)\right)=\lim\limits_{x\nearrow\pi}(ax^2+4)\quad\right|\text{Grenzwerte bilden}$$$$\left.-4\sin\left(\frac\pi2\right)=a\pi^2+4\quad\right|\sin\left(\frac\pi2\right)=1$$$$\left.-4=a\pi^2+4\quad\right|-4$$$$\left.-8=a\pi^2\quad\right|\colon\pi^2$$$$a=-\frac{8}{\pi^2}$$

Answer 2

Im Grenzfall sollte gelten:

a·pi^2 + 4 = - 4·SIN(pi - pi/2) --> a = - 8/pi^2

Comments

Vielen Lieben Dank!! mit der erklärung von Ihnen und Tschakabumba konnte ich die Aufgabe besser versetehen! Vielen Dank nochmals!!