Für welche a∈R a \in \mathbb{R} a∈R ist f f f stetig?f(x)={ax2+4 fu¨r x<π−4sin(x−π2) fu¨r x≥π f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x^{2}+4 & \text { für } x<\pi \\ -4 \sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & \text { für } x \geq \pi \end{array}\right. f(x)={ax2+4−4sin(x−2π) fu¨r x<π fu¨r x≥π
Kann mir wer bitte hierzu eine Lösung mit erklärung zeigen?
Aloha :)
Damit die Funktion stetig ist, muss der linksseitige Grenzwert (x↗π)(x\nearrow\pi)(x↗π) gleich dem rechtsseitigen Grenzwert (x↘π)(x\searrow\pi)(x↘π) sein:limx↘πf(x)=limx↗πf(x)∣Funktion einsetzen\left.\lim\limits_{x\searrow\pi}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow\pi}f(x)\quad\right|\text{Funktion einsetzen}x↘πlimf(x)=x↗πlimf(x)∣∣∣∣∣Funktion einsetzenlimx↘π(−4sin(x−π2))=limx↗π(ax2+4)∣Grenzwerte bilden\left.\lim\limits_{x\searrow\pi}\left(-4\sin\left(x-\frac\pi2\right)\right)=\lim\limits_{x\nearrow\pi}(ax^2+4)\quad\right|\text{Grenzwerte bilden}x↘πlim(−4sin(x−2π))=x↗πlim(ax2+4)∣∣∣∣∣Grenzwerte bilden−4sin(π2)=aπ2+4∣sin(π2)=1\left.-4\sin\left(\frac\pi2\right)=a\pi^2+4\quad\right|\sin\left(\frac\pi2\right)=1−4sin(2π)=aπ2+4∣∣∣∣sin(2π)=1−4=aπ2+4∣−4\left.-4=a\pi^2+4\quad\right|-4−4=aπ2+4∣∣∣−4−8=aπ2∣ : π2\left.-8=a\pi^2\quad\right|\colon\pi^2−8=aπ2∣∣∣ : π2a=−8π2a=-\frac{8}{\pi^2}a=−π28
Im Grenzfall sollte gelten:
a·pi2 + 4 = - 4·SIN(pi - pi/2) --> a = - 8/pi2
Vielen Lieben Dank!! mit der erklärung von Ihnen und Tschakabumba konnte ich die Aufgabe besser versetehen! Vielen Dank nochmals!!
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