Bestimmen Sie sämtliche Polstellen der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie sämtliche Polstellen der Funktion $f$ mit

$\displaystyle f(x)=\frac{(x+3)^{2}}{(x-1)^{2}(x-4)} .$

Geben Sie jeweils an, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt.

Problem/Ansatz:

Hallöle allerseits,
Kann mir wer eine Lösung zwecks den Vorzeichenwechsel zeigen, Ich die definitionslücke bereits ausgerechnetg, also die Nullstellen eines Nenners... {1;4}

Aber ehrlich gesagt habe ich die Regeln nichtmehr im Kopf wie ich das mit dem VZW herausfinden kann. Kann mir das wer bitte erklären?

Answer 1

Aloha :)

Polstellen findest du dort, wo der Nenner $=0$ und der Zähler $\ne0$ ist. Bei$$f(x)=\frac{(x+3)^2}{(x-1)^2(x-4)}$$ist das bei $x=1$ und bei $x=4$ der Fall.

Bei $x=1$ ändert sich wegen des Quadrates bei $(x-1)^2$ das Vorzeichen des Nenners nicht, wenn man sich von links $(x\nearrow1)$ oder von rechts $(x\searrow1)$ der $1$ nähert, z.B. ist $(0,99-1)^2=(1,01-1)^2$. Daher handelt es sich bei $x=1$ und eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Bei $x=4$ sieht es anders aus. Nähern wir uns der $4$ von links $(x\nearrow4)$ ist $(x-4)<0$. Nähern wir uns von rechts $(x\searrow4)$ ist $(x-4)>0$. Daher liegt bei $x=4$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

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f₁(x) = (x+3)²/((x-1)²·(x-4))Zoom: x(-2…6) y(-30…30)