Beweise oder widerlege, dass die Abbildung f:ℝ2[X]→ℝ3[X], f(a+bX+cX2) = a + (b+c)*(X+X2) + (a-b)X3 ℝ-linear ist.
Problem/Ansatz:
Zu überprüfen ist ja, ob f(v+w) = f(v)+f(w) und f(v*w) = f(v)*f(w)
Wie macht man das wenn wie in der Aufgabe X in f(a+bX+...) steht? Ist da was besonderes zu beachten?
Hallo
das ist eine Abbildung von Polynomen auf Polynome.
falsch ist, dass f(v*w) = f(v)*f(w) sein soll v*w ist ja nicht einmal definiert.
a) es fehlt f(r*v)=r*f(v) r in R und f(0)=0
einfach nachrechnen mit Funktionen v mit a1,b1c1 und w mit a2,b2, c2
Gruß lul
Aloha :)
Wenn eine Abbildungsmatrix \(F\) existiert, muss die Abbildung linear sein:$$a\cdot1+b\cdot x+c\cdot x^2\mapsto a\cdot1+(b+c)\cdot x+(b+c)\cdot x^2+(a-b)\cdot x^3$$
Bezüglich der Standardbasen für Polynome \((1,x,x^2,x^3,\ldots)\) können wir diese Abbildungsvorschrift mit Vektoren ausdrücken:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a\\b+c\\b+c\\a-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot a+\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot b+\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot c=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)}_{=F}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$
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