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Aufgabe:

Untersuchen sie die rekursive definierte Folge (xn) ⊂  ℝ auf Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert, wobei

x0:= 0

xn+1:= \( \frac{1}{2}\)(1-xn2)

Problem/Ansatz:

Die Beschränktheit hab ich schon untersucht, aber bei der Konvergenz, habe ich noch Probleme, wie mach ich denn das?

von

Vom Duplikat:

Titel: Eine rekursive Folge: Konvergenz

Stichworte: konvergenz

Aufgabe:

Untersuchen Sie die rekursiv definierte Folge \( \left(x_{n}\right) \subset \mathbb{R} \) auf Beschränktheit und Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert, wobei

\( x_{0}:=0 \quad x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(1-x_{n}^{2}\right) \)



Problem/Ansatz:

Ich brauche eure Hilfe für diese Aufgabe. Ich kann es leider nicht lösen. :"(

2 Antworten

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Beste Antwort

$$\text { Grenzwert: } \\ x_{n+1} = \frac{1}{2} (1 - x_{n}^2),\quad x_{n} >= 0 \\ 2*x_{n+1} = 1 - x_{n}^2 \\ x_{n}^2 + 2*x_{n+1} - 1 = 0 \\ \text { sei }\lim\limits_{n\to\infty} x_{n} = L\text { dann gilt } \\ L^2 + 2*L -1 = 0 \\ \text { Lösung L1 } = -1 - \sqrt{2} \\ \text { Lösung L2 } = -1 + \sqrt{2} \\ \text { wegen L1 < 0 ist L2 der Grenzwert der Folge. }$$

von 3,0 k

Das darf man nur machen, wenn die Existenz des lim gezeigt ist.

lul

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Hallo

bevor man den GW ausrechnet muss man zeigen, dass die folge konvergiert!

den GW ausregnen ist dann immer einfach. indem man xn=xn+1=g setzt für n->oo

Die Beschränktheit ist gleich mit xn>=0 und xn<=1/2 zu zeigen

um die Konvergenz zu zeigen muss man zeigen, dass |xn+1-xn|<|xn-xn-1|

mit xn+1-xn=1/2(x^2n-1-x^2n) benutzt.

Gruß lul

von 83 k 🚀

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