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Aufgabe:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden

y = b1 + b2⋅x + b3⋅x2

wobei x die zurückgelegten Meter der Kugel, y die Höhe der Kugel in Metern, und b1,b2,b3 die Parameter der Kugel bezeichnen.

Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

xi   3 9 10 16
yi   54 117 116 106


a. Ermitteln Sie den Parameter b1 der Flugbahn.

b. Ermitteln Sie den Parameter b2 der Flugbahn.

c. Ermitteln Sie den Parameter b3 der Flugbahn.

d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 22 Metern?

e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?



Problem/Ansatz:

Hallo! Ich habe versucht die Aufgabe mit Mathelounge, WolframAlpha und GeoGebra zu lösen, jedoch bekam ich beim ersten Versuch 0 Punkte.

Ich habe ein Gleichungssystem aufgestellt, das lautet:

1. 54 = x + y*3 + z* 3^2

2. 117 = x + y*9 + z*9^2

3. 116 = x* y*10 + z* 10^2

dann bekam ich die Ergebnisse:  

x= -21.86

y= 30.21

z = -1.65

Diese sind sichtlich falsch, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe richtig löse. Kann mir eventuell jemand helfen?

Vielen Dank im Voraus!

von

Du sollst Exponenten hoch- und Indices tiefstellen. Also + b3⋅x2 und nicht + b3⋅x2. Ich habe das in der Aufgabe korrigiert.

Mit dem Gleichungssystem hast Du nur 3 der 4 Punkte berücksichtigt und damit Information vernichtet, und bei der dritten Gleichung müsste stehen 116 = x + y*10 anstatt Multiplikation.


wobei x die zurückgelegten Meter der Kugel

Ich nehme mal an, in horizontaler Richtung, nicht auf dem Bogen.

4 Antworten

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Du hast vier Punkte für eine Parabel, aber für eine Parabel braucht es nur drei.

Also ist eine Regression verlangt.

von 29 k

Okay vielen Dank!

Ich habe es jetzt erneut probiert und meine Ergebnisse sind:

x = 0.57

y= 20.48

z= -0.87


Kann das sein?

habe es jetzt erneut probiert

Mit welchem Rechenweg?

Ich habe das auch. Aber Du willst ja nicht das richtige Resultat haben, sondern den Lösungsweg können.

Zu den verwendeten Variablennamen:

Aufgabe
b1
b2
b3
Jana2890
x
y
z
Döschwo
c
b
a

Schätzung mit der Methode der kleinsten Quadrate (Minimierung der Residuenquadratsumme), a.k.a. OLS (ordinary least squares):

blob.png

exakte Werte:

blob.png

Die Flugbahn:

blob.png

Jetzt macht das alles Sinn! Vielen vielen Dank für die ganze Mühe und den Aufwand! :)

You're welcome...

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f(x) = a + b*x + c*x^2

Da die Punkte x=9 und x=10 sehr nahe zusammen liegen, würde ich den Wert für x=10 weglassen. Ich gehe mal davon aus, dass kein Optimum gesucht ist (steht nicht in der Aufgabe). Damit ergibt sich

a= -18/7
b = 303/14
c= -13/14

f(x) = -18/7 + 303/14*x - 13/14*x^2

###

Nullstellen:

x1 ≈ 0.11942

x2 ≈ 23.188

###

f(22) = 24.1429

von 3,0 k

das ist total nett, vielen Dank für die Bemühungen!! :)

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Hallo Jana,

Du hast ein Gleichungssystem aufgestellt, um eine Parabel zu berechnen, die durch drei Punkte steht. Das ist im Prinzip richtig, nur handelt es sich hier hier nicht um drei sondern um vier Punkte. Und diese vier Punkte sind naturgemäß mit einer gewissen Unsicherheit behaftet. D.h. sie enthalten wahrscheinlich Messfehler.

Um die Parabel zu berechnen, die wahrscheinlich zu den Messwerten gehört, stellt man am besten die sogenannte Normalengleichung auf:$$A^TA \cdot b = A^T \cdot y$$In Deinem Fall ist$$A=\begin{pmatrix}1& 3& 9\\ 1& 9& 81\\ 1& 10& 100\\ 1& 16& 256\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix}54\\ 117\\ 116\\ 106\end{pmatrix}$$Die Matrix \(A\) enthält quasi die X-Werte aus den Messungen. In der ersten Spalte stehen 1'en, in der zweiten die X-Werte und in der dritten ihre Quadrate.

Die Lösung ist dann$$b=\begin{pmatrix}0.565\\ 20.48\\ -0.8690\end{pmatrix}$$Das gibt dann die blaue Parabel


Die Parabel, die Du berechnet hast, ist die rote. Und wenn Du den Wert \(b_3\), der vor dem \(x^2\) steht, zu sehr rundest (hier auf \(b_3=-1,65\)) dann kommt dabei die orange Parabel heraus. Denke immer daran, wo die Parameter verwendet werden. Wenn man bei \(b_1\) die zweite Stelle hinter dem Komma ändert, dann ist das 1 Zentimeter. Die selbe Stelle bei \(b_3\) bedeutet bei einem X-Wert von 20 schon eine Abweichung von 4 Metern!

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 42 k

noch ein Hinweis:

solltest Du tatsächlich nur(!) eine Parabel durch drei Punkte berechnen, hast aber mehr als drei Punkte gegeben, so ist es in jedem Fall angebracht, diese massstabsgetreu in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Und anschließend zu überlegen welche Punkte man weglassen oder zusammen fassen kann.

Hier in diesem konkreten Fall fällt auf, dass die beiden mittleren Punkte wesentlich dichter zusammen liegen als die anderen. Es wäre also durchaus eine pragmatische Lösung den Mittelwert dieser beiden Punkte zu berechnen und dann diesen und die beiden verbleibenden für die Parabel zu nutzen.

Du wärest mit dieser Methode sehr dicht an die wahrscheinliche Parabel heran gekommen!

Wow, genial! Ich bin Ihnen wirklich unendlich dankbar, hab es nun verstanden. Vielen Dank!!

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du sollst die Parameter \(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\) in der Gleichung$$y(x)=b_1+b_2\cdot x+b_3\cdot x^2$$so bestimmen, dass die 4 gegebenen Punkte möglichst gut getroffen werden.

Wenn wir die 4 Punkte einsetzen, erhalten wir 4 Gleichungen für 3 Unbekannte:

$$\left.\begin{array}{l}54=f(3)=b_1+3b_2+9b_3\\117=f(9)=b_1+9b_2+81b_3\\116=f(10)=b_1+10b_2+100b_3\\106=f(16)=b_1+16b_2+256b_3\end{array}\quad\right\}\implies\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 9 & 81\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}54\\117\\116\\106\end{pmatrix}$$

Durch die 3 Unbekannten lassen sich 3 Gleichungen erfüllen, die verbliebene Gleichung wird jedoch im Allgemeinen falsch sein. Daher verwenden wir die sog. "Normalengleichung" zur Bestimmung einer Lösung, die möglichst gut passt, d.h. bei der die quadratischen Abweichungen über alle 4 Punkte summiert minimial sind. Dazu multiplizieren wir die Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizentenmatrix:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 9 & 10 & 16\\9 & 81 & 100 & 256\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 9\\1 & 9 & 81\\1 & 10 & 100\\1 & 16 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 9 & 10 & 16\\9 & 81 & 100 & 256\end{array}\right)\begin{pmatrix}54\\117\\116\\106\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 38 & 446\\38 & 446 & 5852\\446 & 5852 & 82178\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}393\\4071\\48699\end{pmatrix}$$Dieses lässt sich eindeutig lösen:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,565126\\20,482493\\-0,869048\end{pmatrix}$$

Das entspricht der Funktionsgleichung:$$y(x)=0,565126+20,482493\cdot x-0,869048\cdot x^2$$

~plot~ {3|54} ; {9|117} ; {10|116} ; {16|106} ; [[0|26|0|130]] ; 0,565126+20,482493*x-0,869048*x^2 ~plot~

von 113 k 🚀

Hallo! Vielen vielen Dank für Ihre Bemühung, das ist total nett!

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