Sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = -sin(x) + x/2 + 1/10.
(a) Beweisen Sie: f'(x) < 0 und f''(x) ≥ 0 für alle x ∈ [0, 1].
(b) Begründen Sie, dass f im Intervall [0, 1] genau eine Nullstelle besitzt.
(c) Führen Sie 3 Iterationen mit Hilfe des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x0 = 1/10 durch.
Hinweis: Der Einsatz eines Taschenrechners ist erlaubt. Dezimalbrüche sind auf die dritte Nachkommastelle
zu runden.
Hallo zusammen, folgendes habe ich von dieser Aufgabe bereits zusammen getragen und meine Frage ist, ob das alles so richtig ist, oder ob an beweisen etwas fehlt bzw. manche Sachen komplett falsch formuliert sind.
Los gehts:
(a)
Wir bilden zuerst die Ableitungen und erhalten:
f(x) = -sin(x) +x/2 + 1/10
f'(x) = 1/2 - cos(x)
f''(x) = sin(x)
Wir überprüfen f'(x) < 0 für alle x ∈ [0,1]
f'(0) = 1/2 - cos(0) = -1/2; f'(1) = 1/2 - cos(1) = -0,04
Es gilt für cos(x), dass 1/2 < cos(x) ≤ 1, ∀x ∈ [0,1], dementsprechend gilt die Aussage f'(x) < 0, ∀x ∈ [0,1].
Wir überprüfen f''(x) ≥ 0 für alle x ∈ [0,1]
f''(0) = sin(0) = 0; f''(1) = sin(1) = 0,841
Es gilt für sin(x), dass sin(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0,1], dementsprechend gilt die Aussage f''(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0,1].
Ist das ausreichend als Beweis, oder fehlt da noch was?
(b)
Zu zeigen: f(x) = -sin(x) +x/2 + 1/10 hat im Intervall [0,1] genau ein Nullstelle.
Bew:
f ist als Komposition stetiger Funktionen stetig
f(0) = -sin(0) +0/2 + 1/10 = 1/10 > 0
f(1) = -sin(1) + 1/2 + 1/10 = -0,241 < 0
mit Zwischenwertsatz (ZWS) ⇒ ∃x ∈ (0,1):f(x) = 0
f'(x) = 1/2 - cos(x), da 1/2 < cos(x) ≤ 1, ∀x ∈ [0,1], gilt wie in (a) bewiesen f'(x) < 0 ⇒ f ist streng monoton fallend in [0,1] ⇒ Eindeutigkeit.
Reicht das als Beweis?
(c)
ich kenne bereits die Iterationsformel, somit würde ich eine Formel generieren der Form:
xn+1 = xn - \( \frac{-sin(x_n)+x_n/2+1/10}{1/2-cos(x_n)} \) = \( \frac{5x_n-10sin(x_n)+1}{5-10cos(x_n)} \)
Nun soll ich ja 3 Iterationen durchführen für xn = x0 = 1/10
Ich erhalte somit für:
x1 = 0,201
x2 = 0,203
x3 = 0,203.
Was zu zeigen war.
Reicht das, oder muss ich immer wieder neu die Formel hinschreiben, bzw ist das überhaupt richtig?
Freue mich sehr über eure Hilfe.^^
