Beweis von min{rk(f),rk(g)} ≥ rk(f∘g)

Question

Zeige, dass man ≥ in min{rk(f),rk(g)}  ≥ rk(f∘g) nicht durch = ersetzen kann.

Zu zeigen ist ja also, dass es ein rk(f∘g) gibt, das echt kleiner ist. Wie muss ich da vorgehen?

Comments

Was ist rk(f)?  irgendwas über Fug bekannt?

lul

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f ist linear von W nach V und g ist linear von X nach W

Answer 1

Hallo,

so ein Beispiel lässt sich schon für $f,g:\,\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ recht einfach konstruieren. Wie immer bei linearen Abbildungen reicht es, die Bilder der Basis zu definieren. Sei dazu also $(e_1,e_2)$ eine Basis von $\mathbb R^2$ (z.B. die Standardbasis). Dann definieren wir $f$ durch $f(e_1)=0$ und $f(e_2)=e_2$. Dazu jetzt folgende Fragen:

Was ist $\mathrm{rk}(f)$?

Was muss also $\mathrm{rk}(f\circ g)$ sein?

Hast du dann eine Idee für $g$?

Gerne helfe ich weiter, falls du eine der Fragen nicht beantworten kannst.

LG Dojima

Edit: Ich interpretiere die Aufgabe so, dass $f$ und $g$ jeweils lineare Abb. zwischen Vektorräumen sein sollen.

Comments

Ich weiß leider nicht, was $\mathrm{rk}(f\circ g)$ ist

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Ok, meine Fragen waren auch sehr ungünstig gestellt.
Ich wollte darauf hinaus, dass $\mathrm{rk}(f\circ g)$ ja kleiner sein muss als das Minimum. Da $\mathrm{rk}(f)=1$ ist das Minimum maximal 1 und $\mathrm{rk}(f\circ g)$ muss daher 0 sein. Dazu muss man jetzt noch das passende $g$ finden. Rang 0 heißt, dass $f\circ g$ beide Basisvektoren auf 0 abbildet. Das erfüllt z.B. $g(e_1)=e_1$ und $g(e_2)=0$.

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Ah okay, vielen Dank