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Aufgabe:

Sei (an) konvergent gegen a ∈ ℝ und bn ≥ 0 für alle n.
Falls a ≥ 0, dann gilt lim sup n→∞ (an bn) = a lim sup n→∞ bn.
Sei nun a < 0. Wie lässt sich lim sup n→∞ (an bn) in diesem Fall berechnen?


Problem/Ansatz:

Wie geht man an diese Aufgabe ran? Ich habe es schon mit dem Epsilon Kriterium versucht, komme aber auf keine vernünftigen Ergebnisse.

von

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Hallo,

ich denke in der Aufgabe sollte es \(a>0\) und nicht \(a\geq0\) heißen, sonst gilt die Aussage nämlich nicht (z.B. \( a_n=0,\,b_n=n\)).

Dann würde ich eine Fallunterscheidung machen:

Fall 1: \((b_n)_n\) ist unbeschränkt. Dann ist auch \((a_nb_n)_n\) unebschränkt, da \(a_n\to a\neq0\). Da beide Folgen und \(a\) nicht-negativ sind, sind beide Seiten der Gleichung \(\infty\).

Fall 2: \((b_n)_n\) ist beschränkt. Dann hat man $$a\limsup\limits_{n}b_n=a\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}b_k=\lim\limits_n a_n\sup\limits_{k\geq n}b_k$$

sowie $$\limsup\limits_n a_nb_n=\lim\limits_n \sup\limits_{k\geq n} a_kb_k$$
wobei beide Grenzwerte in \(\mathbb R\) existieren. Damit reicht es z.z. $$\lim\limits_{n\to\infty}\left| a_n\sup\limits_{k\geq n}b_k-\sup\limits_{k\geq n} a_kb_k\right|=0$$

Sei dazu \(B_n:=\sup\limits_{k\geq n}b_k\) und \(\varepsilon\in(0,\frac{a}{2})\). Dann gibt es ein \(N\) sodass für \(k\geq N\) gilt \(a_k\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\). Mache dir dann klar, dass für \(n\geq N\) gilt: $$\left(a_n\sup\limits_{k\geq n}b_k\right)\in\left((a-\varepsilon)B_n,(a+\varepsilon)B_n\right)\\\left(\sup\limits_{k\geq n}a_kb_k\right)\in\left[(a-\varepsilon)B_n,(a+\varepsilon)B_n\right]$$

Dann ist also

$$\left| a_n\sup\limits_{k\geq n}b_k-\sup\limits_{k\geq n} a_kb_k\right|\leq2B_n\varepsilon\to0$$


Edit: Den Teil mit \(a<0\) habe ich übersehen. Ich hoffe das war nicht die eigentliche Aufgabe.

von
Edit: Den Teil mit a < 0 habe ich übersehen. Ich hoffe das war nicht die eigentliche Aufgabe.

Doch das war sie

Nagut, die Arbeit ist aber getan. Benutze einfach \(-\sup M=\inf (-M)\) wobei für \(M\neq\emptyset\): \(-M:=\{-x\, |\, x\in M\}\).

Dann erhält man $$ \limsup\limits_{n}a_nb_n=a\liminf\limits_{n} b_n$$

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