Fehler / Hesse-Matrix konvex oder konkav

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-2-2 x_{1} x_{2}-4 x_{2}^{2}-3 x_{1}^{3}-1 x_{1}^{2} x_{2}-4 x_{1} x_{2}^{2} \)
an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(-2,1) \).

Die Hesse-Matrix \( f^{\prime \prime}(-2,1) \) hat folgende Einträge:

Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt:

An dieser Stelle ist die Funktion:
konvex
konkav
weder konvex noch konkav

Problem/Ansatz:

\( f(x, y)=-2-2 x y-4 y^{2}-3 x^{3}-1 x^{2} y-4 x y^{2} \)
\( f^{\prime}(x)=-2 y-9 x^{2}-2 x y-4 y^{2} \quad f^{\prime \prime}(x)=-18 x-2 y \)
\( f(y)=-2 x-8 y-x^{2}-8 x y \quad f^{\prime \prime}(y)=-8-8 x \)

\( \left(\begin{array}{c}18 x-2 y \\ -2 x-8 y-2\end{array}\right. \)

\( \text { Det }=-340 \)

weder noch \( \rightarrow \) Determinante negativ deshalb Matrix indefinit

wo lieg ich falsch? hab nur den halben Punkt bekommen

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=-2-2xy-4y^2-3x^3-x^2y-4xy^2\quad;\quad (x_0;y_0)=(-2;1)$$$$f_x(x;y)=-2y-9x^2-2xy-4y^2\implies f_x(-2;1)=-38$$$$f_y(x;y)=-2x-8y-x^2-8xy\;\;\;\implies f_y(-2;1)=8$$$$f_{xx}(x;y)=-18x-2y\qquad\qquad\;\;\;\,\implies f_{xx}(-2;1)=34$$$$f_{xy}(x;y)=-2-2x-8y\qquad\qquad\!\implies f_{xy}(-2;1)=-6$$$$f_{yx}(x;y)=-2-2x-8y\qquad\qquad\!\implies f_{yx}(-2;1)=-6$$$$f_{yy}(x;y)=-8-8x\qquad\qquad\qquad\implies f_{yy}(-2;1)=8$$

Die Hesse-Matrix an der Stelle \((-2;1)\) lautet also:$$H(-2;1)=\left(\begin{array}{rr}34 & -6\\-6 & 8\end{array}\right)$$Die Hauptminoren sind \(D_1=34\) und \(D_2=34\cdot8-6\cdot6=236\) beide positiv. Daher ist die Hesse-Matrix positiv definit und die Funktion an der Stelle \((-2;1)\) konvex.

Comments

vielen Dank!!