Taylorreihe Entwicklungspunkt Hilfe

Question

Aufgabe:

Taylorreihe

Folgende Funktion ist zu berechnen
Entwicklungspunkt 0 = 0
F(x) = 2^x

Kann mir jemand verständlich erklären wie die Aufgabe zu berechnen ist?

Finde keinen richtigen Lösungsweg

Comments

Wie habt Ihr denn die Taylorreihe formuliert?

Vielleicht sollt Ihr statt der Berechnung über die Definition auf ein bekannte Reihe zurückgreifen?

Answer 1

$$\text{ Die Taylorreihe einer Funktion f(x) um den Punkt x0 lautet} \\ f(x)= \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^k(x0)}{k!} (x-x0)^k \\ f^0(x0) = 2^{x0} = 1 \\ f^1(x0) = 2^{x0}*log(2) = log(2) \\ f^2(x0) = 2^{x0}*log^2(2) = log^2(2) \\ f^3(x0) = 2^{x0}*log^3(2) = log^3(2)\\ usw. \\ f(x)= 1 + \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{log^k(2)}{k!} (x)^k \\$$

Answer 2

Hallo

2^x=e^x*ln(2) damit (2^x)'=ln(2)*2^x  damit (2^x)^(n)=(ln(2)ⁿ*2^x

x=0  also 2⁰=1 eingesetzt gibt dir alle Ableitungen  und du musst nur in die Taylorformel einsetzen.

Gruß lul