Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung
y′(x)=x−y, x∈I⊆R.
Gibt es Einschränkungen an I ?

Answer 1

Hallo

homogene lösen sollte einfach sein, y'=-y

dann Variation der Konstanten  wie im anderen post

oder erraten nach Art der rechten   Seite eine partikuläre Lösung y=ax+b, einsetzen und a,b aus Koeffizientenvergleich, die partikuläre Lösung zur allgemeinen homogenen addiere

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

falls keine Methode vorgegeben ist, kann diese DGL auch mittels Substitution gelöst werden.

y′(x)=x−y

z=x-y

y=-z+x

y'=-z'+1

->Einsetzen in die DGL:

-z'+1= z

z'=-z+1

dz/dx= -z+1

dz/(-z+1)= dx

-ln|1-z| = x+C

z= - C₁ e^(-x) +1

Resubstitution: z=x-y

x-y= - C₁ e^(-x) +1

y=  C₁ e^(-x) -1+x