Bestimmen jene Matrix X

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie kann man hier Punkt 2 berechnen?

Text erkannt:

4.16 Gegeben sind die Matrizen $A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 6 \\ 4 & 9\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}1 & -3 \\ 1 & -8\end{array}\right)$
(a)) Berechnen Sie $A^{-1}$.
(b) Bestimmen Sie jene Matrix $X$, für die gilt: $A X=B+C$

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Bestimmung der inversen Matrix$$A=\begin{pmatrix}3 & 1\\5 & 2\end{pmatrix}\quad;\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}=\;?$$Die Matrix $A$ mit ihrer Inversen $A^{-1}$ multipliziert, ergibt die Einheitsmatrix:$$A\cdot A^{-1}=\mathbf 1_{2}\implies\begin{pmatrix}3 & 1\\5 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$Wir rechnen das aus und erhalten zwei kleine Gleichungssystem:$$\binom{3}{5}a+\binom{1}{2}c=\binom{1}{0}\quad;\quad\binom{3}{5}b+\binom{1}{2}d=\binom{0}{1}$$Die Lösungen sind:$\quad a=2\;;\;c=-5\quad$ und $\quad b=-1\;;\;d=3$

Damit lautet die Inverse:$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}2 & -1\\-5 & 3\end{array}\right)$$

zu 2) Da wir nun $A^{-1}$ kennen, können wir $X$ wie folgt bestimmen:$$A\cdot X=B+C\quad\big|\text{Matrizen einsetzen}$$$$A\cdot X=\left(\begin{array}{rr}2 & 6\\4 & 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}1 & -3\\1 & -8\end{array}\right)\quad\big|\text{Matrizen addieren}$$$$A\cdot X=\left(\begin{array}{rr}3 & 3\\5 & 1\end{array}\right)\quad\big|\text{mit \(A^{-1}\) von links multiplizieren}$$$$\underbrace{A^{-1}\cdot A}_{=\mathbf 1_2}\cdot X=A^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rr}3 & 3\\5 & 1\end{array}\right)\quad\big|\text{\(A^{-1}\) einsetzen}$$$$X=\left(\begin{array}{rr}2 & -1\\-5 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}3 & 3\\5 & 1\end{array}\right)\quad\big|\text{ausrechnen}$$$$X=\left(\begin{array}{rr}1 & 5\\0 & 12\end{array}\right)$$