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Wird eine natürliche Zahl vom Dezimalsystem in ein Zahlensystem mit der Basis b
umgerechnet, so lässt sich die Anzahl der benötigten Ziffern mit S = 1 + (logb(y)]
( [ x ]…_ Gaußklammern, vgl. Band 1, Abschnitt 5.3) berechnen.
1) Wie viele Stellen werden benötigt, um die Zahl 188 im Binärsystem darzustellen?
2) Ermittle die größte und die kleinste Basis, bei der die Dezimalzahl 432 mit 3 Stellen
dargestellt wird.

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Der Lösungsweg wurde doch gleich mitgeliefert...

blob.png

Soweit zu Aufgabe 1).

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

@d: Was möchtest du damit sagen?

3 Antworten

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1) 27 ist die größte Zweierpotenz unter 188. Also ist 7+1=8 die Anzahl der Stellen, die benötigt werden , um die Zahl 188 im Binärsystem darzustellen.

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Aloha :)

Wir wandeln 188188 in eine Binärzahl um:188 ⁣ : 2=94Rest : 094 ⁣ : 2=47Rest : 047 ⁣ : 2=23Rest : 123 ⁣ : 2=11Rest : 111 ⁣ : 2=5Rest : 15 ⁣ : 2=2Rest : 12 ⁣ : 2=1Rest : 01 ⁣ : 2=0Rest : 1\begin{array}{c}188&\colon2&=&94 &\text{Rest:} & 0\\94&\colon2&=&47 &\text{Rest:} & 0\\47&\colon2&=&23 &\text{Rest:} & 1\\23 &\colon2&=&11 &\text{Rest:} & 1\\11&\colon2&=&5 &\text{Rest:} & 1\\5&\colon2&=&2 &\text{Rest:} & 1\\2&\colon2&=&1&\text{Rest:} & 0\\1&\colon2&=&0 &\text{Rest:} & 1\end{array}Jetzt einfach die Reste von unten nach oben zusammenfassen:18810=101111002188_{10}=1011\,1100_2

Wählen wir als Basis 433433, gibt es "Ziffern" von (0)(0) bis (432)(432). Wir können dann die Zahl 432432 mit den 3 "Ziffern" (0)(0)(432)(0)(0)(432) darstellen. Eine ähnliche Darstellung gäbe es in allen Basen größer als 433433. Streng genommen gibt es also keine größte Basis.

Die Frage nach der kleinsten Basis bb lässt sich beantworten. Die größte 3-stellige Zahl in der Basis bb ist:m(b)=(b1)b0+(b1)b1+(b1)b2=b31m(b)=(b-1)\cdot b^0+(b-1)\cdot b^1+(b-1)\cdot b^2=b^3-1Wegen 432+137,6\sqrt[3]{432+1}\approx7,6 brauchen wir zur Darstellung der Zahl 432432 mit 3 Ziffern mindestens die Basis 88.

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2) Ermittle die größte und die kleinste Basis, bei der die Dezimalzahl 432 mit 3 Stellen dargestellt wird.

Nach der Vorgabe beträgt die Anzahl SS der benötigten Ziffern für die Darstellung einer Zahl yy im Stellenwertsystem zur Basis bb: S=1+[logb(y)]S = 1 + \left[\log_b\left(y\right)\right] Mit S=3S=3 und y=432y=432 wird daraus: 3=1+[logb(432)]2=[logb(432)]3 = 1 + \left[\log_b\left(432\right)\right]\\2 = \left[\log_b\left(432\right)\right] Gesucht ist also das größte bb mit 2logb(432)b2432b432b20.78b=20\begin{aligned}2 &\le \log_b\left(432\right)\\b^2 &\le 432\\b &\le \sqrt{432} \\b &\le 20.78\dots\\ b &= 20\end{aligned} Die Basis b=20b=20 ist also die größte Basis, in deren Stellenwertsystem die Darstellung der Dezimalzahl 432 drei Stellen benötigt.

Führt man diese Rechnung mit S=4S=4 durch und erhöht das so gefundene bb um 1, so erhält man auch die kleinste Basis.

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