begründen Sie, dass der Punkt M2(-0,5|1|4) auf der Strecke PQ liegt.

Question

Aufgabe:

die Punkte A(-4|-2|0), B(3|-2|0), C(3|3|0) und D(-4|3|0) Sind Eckpunkte der Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt S (0|0|6) ist.

b) weisen Sie nach, dass die Punkt P (1|1|4) auf der Kante CS liegt.

c) Die Ebene E enthält die Kante AB sowie den Punkt P. Stellen sie die gleichung der Eben E auf.

d) ermitteln Sie den Schnittpunkt Q der Ebene E mit der Geraden DS.

e) M1 sei der Mittelpunkt der Strecke AB. begründen Sie, dass der Punkt M2(-0,5|1|4) auf der Strecke PQ liegt. weisen Sie nach, dass M1M2 Orthogonal zu AB liegt

f) begründen Sie, dass das Viereck ABPQ Ein Trapez ist. Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Trapezes.

Problem/Ansatz:

b) hab ich raus, dass der Punkt auf der Kante CS liegt.

c) E: x= (1/1/4) + r • (-1/0/0) +s• (-5/-3-4)

stimmt das?

d) komme ab hier nicht mehr weiter

Answer 1

c) Das stimmt .

d) Gleichung von DS aufstellen

\(   g:\vec{x}= \begin{pmatrix} -4\\3\\0 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -4\\3\\-6 \end{pmatrix} \)

gleichsetzen mit E und r, s, t ausrechnen.

Da habe ich r=7/3 s=0 t=-2/3 Also Q=(-4/3 ; 1 ; 4 ).

e) Berechne M1 = (A+B)/2 und setze M2 in die Gleichung von

PQ ein.

Berechne das Skalarprodukt des Vektors von M1 nach M2 mit

dem von A nach B. Wenn es 0 gibt, sind sie orthogonal.

Comments

bei d) komme ich leider auf andere Ergebnisse, können sie mir den Rechenweg erklären oder zeigen?

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Welche Gleichung hast du für DS ?

Answer 2

Hallo,

b und c sind richtig.

d) Setze Ebenengleichung =  Geradengleichung durch DS und bestimme den Schnittpunkt mithilfe des sich daraus ergebenen Gleichungssystems.

e) Hier rechnest du das Gleiche wie bei b) um zu zeigen, das M2 auf er Geraden liegt.

Die beiden Geraden sind senkrecht zueinandern, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren = 0 ist.

f) Hier reicht es nachzuweisen, dass die Geraden durch AB und PQ parallel zueinander sind. Den Flächeninhalt kannst du z.B. über das Kreuzprodukt berechnen.

Gruß, Silvia

Answer 3

Hallo,

b) hab ich raus, dass der Punkt auf der Kante CS liegt.

das zeigt auch die Skizze

c) E: x= (1/1/4) + r • (-1/0/0) +s• (-5/-3-4)
stimmt das?

Ja - das sieht gut aus. Die grüne Ebene enthält die Kante \(AB\) und den Punkt \(P\).

(klick auf das Bild!)

d) komme ab hier nicht mehr weiter

Die Gerade \(DS\) ist $$g_{DS}:\quad \vec x = \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 6\end{pmatrix}$$dies setzt Du der Ebene \(E\) gleich und löst das lineare Gleichungssystem$$E = g_{DS} \\ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 4\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-5\\ -3\\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 6\end{pmatrix}\\r\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-5\\ -3\\ -4\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ -6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-5\\ 2\\ -4\end{pmatrix} \\$$Nimm die zweite Gleichung mit 4 und die untere mit 3 mal und ziehe die zweiten dann von der unteren ab. Du erhältst \(t = 2/3\). Einsetzen in \(g_{DS}\) liefert$$g_{DS}:\quad Q=\vec x\left(t=\frac23\right) = \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 0\end{pmatrix} + \frac 23 \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac43\\ 1\\ 4\end{pmatrix}$$

e) M1 sei der Mittelpunkt der Strecke AB. begründen Sie, dass der Punkt M2(-0,5|1|4) auf der Strecke PQ liegt. weisen Sie nach, dass M1M2 Orthogonal zu AB liegt

Stelle die Gleichung für die Gerade durch \(PQ\) auf$$g_{PQ}:\quad \vec x = P + t(Q-P)$$dann setze \(M_2\) ein und versuche nach \(t\) zu lösen. Falls eine Lösung existiert mit \(0 \le t \le 1\), dann liegt \(M_2\) auf der Strecke \(PQ\).

Zum Nachweis der Orthogonalität bilde das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{M_1M_2}\).

f) begründen Sie, dass das Viereck ABPQ Ein Trapez ist. Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Trapezes.

\(\vec{AB}\) und \(\vec{PQ}\) müssen dazu parallel verlaufen. Das kannst Du nachweisen, indem Du einen Faktor findest, der den einen Vektor in den anderen überführt. Für den Flächeninhalt berechen die Längen von \(|AB|\) und \(|PQ|\) und die Höhe \(h\) ist in diesem Fall die Länge von \(|M_1M_2|\). Ich komme auf \(F=70/3\).

Falls irgendwas noch unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner