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Aufgabe:

Vorgelegt sei ein Kegel mit Radius R und Höhe H. Diesem sei ein kleinerer Kegel mit Radius r und Höhe h wie in folgender Figur beschrieben. Grundflächen der Kegel sind parallel.


Zeigen sie, dass h3 • V(Kegel groß) = H3 •V(Kegel klein) gilt. PNG-Bild.png

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Volumen Kegel klein: Vk = 1/3 · π · r2 · h

Volumen Kegel gross: Vg = 1/3 · π · R2 · H

Behauptung:

1/3 · π · r2 · h * H3 = 1/3 · π · R2 · H * h3

r2 · h * H3 = R2 · H * h3

r2 · H2 = R2 · h2

r2R2 \frac{r^2}{R^2} = h2H2 \frac{h^2}{H^2}

rR \frac{r}{R} = hH \frac{h}{H}

Dieses Verhältnis gilt aufgrund des Strahlensatzes für kongruente Dreiecke. Siehe dazu folgendes Bild (halber Querschnitt durch den Kegel):

Unbenannt.png  

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Vielen Dank!

Könnten sie das mit dem Strahlensatz genauer erklären?

Habe meine Antwort um ein Bild ergänzt.

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